Stetigkeit, Bijektivität zeigen und Umkehrfunktion bestimmen

Question

Sei f : IR → IR definiert durch

$$f ( x ) : = \left\{ \begin{array} { c c } { 2 x - 1 } & { \text { für } x \leq 2 } \\ { x + 1 } & { \text { für } x > 2 } \end{array} \right.$$

Zeigen Sie, dass f stetig und bijektiv ist und bestimmen Sie die Umkehrfunktion von f.

Answer 1

Stetig ist die Funktion, weil linker Grenzwert und rechter Grenzwert an der Stelle 2 übereinstimmen. Er ist gleich 3.

Bijektiv ist die Funktion, weil sie auf ganz x streng monoton steigend ist.

 

y = 2x - 1 für x <= 2 gibt Funktionswerte y <=3

2x = y + 1

x = 1/2 y + 1/2

Umkehrfunktion

y = 1/2 x + 1/2 für x <=3

 

y = x + 1 für x > 2 gibt Funktionswerte y > 3

x = y - 1

Umkehrfunktion

y = x - 1 für x > 3