Punkt auf Ebene - Formel

Question

Ich kenne die Formel : (v x w) * pq= 0 um zu überprüfen, ob ein Punkt auf einer Ebene liegt.

Wie die Formel funktioniert verstehe ich ja , nur ist mein Problem, dass durch die Formel es nicht zwangsläufig heißt, dass der Punkt in der Ebene liegt, da die Formel ja eig. nur besagt, dass die Strecke zwischen Punkt und Ortsvektor orthogonal zu dem Kreuzprodukt der Richtungsvektoren liegt.

Ergo bedeutet das ja erst einmal nur, dass der Punkt so gesehen auf der selben Ebene liegt.

Liege ich hier richtig ?

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... nur ist mein Problem, dass durch die Formel es nicht zwangsläufig heißt, dass der Punkt in der Ebene liegt ... 

Ergo bedeutet das ja erst einmal nur, dass der Punkt so gesehen auf der selben Ebene liegt.

Ich verstehe das nicht so genau was du willst. Man will doch nur zeigen, dass ein Punkt in der Ebene liegt. Und das ist immer der Fall wenn die Verbindungsstrecke zwischen einem Punkt in der Ebene und diesem gefragten Punkt senkrecht zum Normalenvektor bzw. Zum Kreuzprodukt steht.

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Macht es einen Unterschied ob p-q oder q-p vom Endresultat ?(Ich weiß, dass die Richtung sich ändert)

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In diesem Fall nicht wirklich, weil das Produkt ja eh nur Null werden soll.

Wenn du den Richtungsvektor pq meinst dann ist dieser aber definiert durch q - p.

PQ sollte dann aber auch groß geschrieben werden.

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Bei der Berechnung des Abstandes zwischen Punkt un Ebene macht es aber auch keinen Unterschied ,da :

Bsp: Abstand berechnen zwischen Ebene und Punkt

Die Formel lautet ja sowohl im Zähler , als auch im Nenner Betragsstriche :

1.Variante :

$\frac{[(pq)*(vxw)]}{[(vxw)]}$ = [-20]/wurzel30 = 20/wurzel30

2.Variante :

$\frac{[(qp)*(vxw)]}{[(vxw)]}$ = [20]/wurzel30 =20/wurzel30

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Oder sehe ich das jetzt falsch ?

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Nein das ist richtig.

Ich verwende allerdings immer die Formel des gerichteten Abstandes ohne Betragsstriche, damit kann man dann noch sehen auf welcher Seite der Ebene der Abstand entsteht.

Dann spielt die Reihenfolge der Subtraktion allerdings eine Rolle.

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Die Abstandsformeln von Gerade Gerade und Punkt Ebene sind doch identisch oder?

Also :

Punkt Ebene :
$\frac{[(pq)*(vxw)]}{[(vxw)]}$ 


Gerade Gerade :
$\frac{[(pq)*(n)]}{[(n)]}$   (n ist ja vxw)

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Ja genau. Man kann den Abstand zweier Geraden eben auch über eine Hilfsebene machen. Ist das gleiche. Daher braucht man eigentlich nur eine Formel lernen.

Answer 1

Die Ebene sei: $E: \quad x= p + r\cdot v + s \cdot w$.

Deine Überlegung ist doch die, dass die Bedingung $v \times w\cdot (p-q) = 0$ doch nur besagt, dass der Differenzvektor $p-q$ parallel zu der Ebene liegt, die durch $v$ und $w$ aufgespannt ist. Das heißt zunächst noch nicht, dass $p$ auch in dieser Ebene liegt.

Du hast dabei übersehen, dass $q$ selbst zwangsläufig in dieser Ebene liegen muss ($q=x(r=0,s=0)$). Und zusammen mit dieser Bedingung folgt daraus, dass auch  $p$ in  $E$ liegt.

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Macht es einen Unterschied ob p-q oder q-p vom Endresultat ?(Ich weiß, dass die Richtung sich ändert)

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Macht es einen Unterschied ob p-q oder q-p vom Endresultat ?(Ich weiß, dass die Richtung sich ändert)

Nein - für den Nachweis, dass $q$ in $E$ liegt, macht es gar keinen Unterschied.

Answer 2

Gehe ich recht in der Annahme,dass es um einen Punkt P mit dem zugeordneten Ortsvektor $\vec{p}$ und die Ebene $\vec{x}$ =$\vec{q}$ + r·$\vec{v}$ + s·$\vec{w}$ geht? Dann muss gelten: ($\vec{v}$ ×$\vec{w}$ )·($\vec{p}$ -$\vec{q}$ )=0.

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Deine Annahme mit dem Punkt P ...... ist richtig .

Meine Frage war aber (s.o)

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Ich denke wenn du genauer darlegen könntest wo dein Problem liegt könnten wir auch besser helfen.

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Macht es einen Unterschied ob p-q oder q-p vom Endresultat ?(Ich weiß, dass die Richtung sich ändert)