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Aufgabe:

Beweise , dass für n (für N) gilt :

$$\sum_{k=1}^{n} k^{2}=\frac{n \cdot(n+1) \cdot(2 n+1)}{6}$$


Problem/Ansatz:

Als erstes kommt der Ind.anfang :(prüfen ob es für n=1 gilt )

gesagt, getan:

$$\sum_{k=1}^{1} k^{2}=1^{2}=1$$

und

$$\frac{1 \cdot(1+1) \cdot(2 \cdot 1+1)}{6}=\frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6}=\frac{6}{6}=1$$ 

Danach im 2.Schritt die Ind.voraussetzung(das bedeutet ja, dass man annimmt, dass die obige Formel stimmt.) und Ind.behauptung(gilt auch für n+1)

Induktionsvoraussetzung:

$$\sum_{k=1}^{n} k^{2}=\frac{n \cdot(n+1) \cdot(2 n+1)}{6}$$


Induktionsbehauptung:

$$\sum_{k=1}^{n+1} k^{2}=\frac{(n+1) \cdot(n+2) \cdot(2 n+3)}{6}$$


Wie sieht jetzt der letzte Schritt (generell) aus (sprich der Beweis) ?Wie "heißt " der Schritt ?

Beim letzten Schritt habe ich immer meine Probleme.

von

1 Antwort

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Beste Antwort

Hallo,

letzten Summand aus der Summe in der Behauptung isolieren:

\( \sum\limits_{k=!}^{n+1}{k^2}= (n+1)^2+\sum\limits_{k=!}^{n}{k^2}\)

Rechts die Voraussetzung einsetzen und ausrechnen.

Wenn du dann unten die rechte Seite der Behauptung ausmultiplizierst, muss das gleiche rauskommen.

Gruß Wolfgang

von 82 k

die "linke" Formel muss unberührt bleiben ?

Oder kann ich diese gemeinsam mit der "rechten" Formel umformen , da Gleichsetzung.

Du rechnest doch im ersten Schritt die Summe der Behauptung aus.

Im zweiten Schritt zeigst du, das sie gleich der rechten Seite der Behauptung ist.

Das könntest du auch durch Faktorisieren des ersten Ergebnisses machen. Aber das ist lästiger.

Weißt du, wie ich von:

$$\frac{n \cdot(2 n-1) \cdot(2 n+1)+3(2 n+1)^{2}}{3}$$

auf:

$$\frac{(n+1) \cdot(2(n+1)-1) \cdot(2(n+1)+1)}{3}$$ 

komme?

Mein Ansatz war : der mittlere Term(2n+1) ist ja schon richtig, fehlen nur der linke Term (2n^2-n) und 3*(2n+1)^2

Da komme ich irgendwie nicht weiter

Habs schon mit dem Ausmultiplizieren versucht ...

im ersten Zähler kannst du (2n+1) ausklammern:

(2n+1) * ( n * (2n-1) + 3 * (2n+1) ]

         =  (2n+1) * ( 2n2 + 5n + 3)

         =  (2n+1) * (n +1) * (2n+3) = ...

Danke dir für deine Hilfe.

immer wieder gern :-)

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