Bestimmung von Funktionsgleichungen bei vorgegebener Fläche f(x) = ax^2 -1

Question

Aufgabe:

Der Graph der Funktion f: f(x) = ax^2 -1 schließt mit der x-Achse eine Fläche mit der Maßzahl 3 ein. Wie groß ist a?

Problem/Ansatz:

f(x) = ax^2 -1

f(x) = 0

0 = ax^2-1  || +1

1 = ax^2     || /a

1/a = x^2    || Wurzelziehen

+ - = Wurzel aus 1/a = x

Habe ich es bisher richtig gemacht? Wie geht es weiter? Könnte mir bitte jemand helfen?

Answer 1

Ja soweit so gut. Bilde jetzt die Stammfunktion und setze erste die obere Grenze ein und dann die untere und ziehe beide voneinander ab. Die Differenz muss 3 sein. Löse das dann auf nach a.

Comments

Die Differenz muss 3 sein.

In diesem Fall entsteht die Fläche unterhalb der x-Achse. Daher -3. Aber sonst natürlich völlig richtig.

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Stimmt, habe ich übersehen, danke!

Dein Vorschlag die Symmetrie zu nutzen ist natürlich elegant.

Answer 2

f(x) = a·x^2 - 1 = 0 --> x = ± 1/√a

F(x) = a/3·x^3 - x

2 ∫ (0 bis 1/√a) f(x) dx = 2·(F(1/√a) - F(0)) = 2·(a/3·(1/√a)^3 - 1/√a) = -3 --> a = 16/81

Comments

Danke für eure schnellen antworten. Wie kommt man auf mal 2?

Wieso ist die Untergrenze 0? Ich dachte es ware - Wurzel aus 1/a und die Obergrenze Wurzel aus 1/a .

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Man nutzt in diesem Fall die Achsensymmetrie der Funktion aus. D.h. die Fläche die Insgesamt entsteht ist genau doppelt so groß wie die Fläche rechts der y-Achse.

~plot~ 16/81*x^2-1 ~plot~

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Man muss natürlich nicht die Symmetrie nutzen. Dann ist der Ausdruck allerdings deutlich unhandlicher.

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@Marcelma: so wie du es vorgeschlagen hast geht es auch, aber es ist mehr Arbeit weil in der Lösung vom Mathecoach der term F(0) null ist und damit wegfällt.