Analysis Funktionenschar f

Question

Aufgabe:

In der Medizin werden Patienten Medikamente verabreicht, die sich mit bestimmten Gewebearten konzentrieren.

Für einen Patienten wird die Masse eines verabreichten Medikaments mit einem bestimmten Gewebe in Mikrogramm in Abhängigkeit von der Zeit in Stunden seit der Verabreichung des Medikaments im Folgenden modellhaft durch die Funktion f und g beschrieben.

1. In einem ersten Modell wird die Funktion f betrachtet mit

f(t) = \( \frac{1}{900} \) * t³ - \( \frac{1}{15} \) * t² + t für 0 ≤ t ≤ 30.

1.1 In Material 1 ist der Graph von f abgebildet. Beschreiben Sie den zeitlichen Verlauf der Masse des Medikamnets in dem Gewebe.

1.2 Berechnen Sie ohne Bezugnahme auf den Graphen von f die Nullstellen und den Wendepunkt und deuten Sie den Wendepunkt im Sachzusammenhang.

2. Die Funktion f aus Aufgabe 1 gehört mit a=30 zu der Schar f_a mit

f_a(t)= \( \frac{1}{a²} \) * (t³ - 2a * t² + a² *t) für 0 ≤ t ≤ a mit a > 0.

2.1 Berechnen Sie die Extremstellen von f_a . Die Untersuchung der notwendigen Bedingung ist ausreichend.

2.2 Zeigen Sie, dass zum Zeitpunkt t=a die Masse des im Gewebe vorhandenen Medikaments und die Änderungsrate von f_a denselben Wert annehmen.

Answer 1

Hallo

1.1) ist ja nur Beschreibung, mit den Worten "wächst stark, wächst schwächer erreicht Max, fällt immer stärker bis .. dann immer schwächer nach 30h ist es weg.

1.2  0 Stellen 1. x=0 dann durch x teilen und die Quadratische Gleichung lösen, dann f'' bilden und die Nullstelle davon, im Wendepunkt ist die (hier negative) Steigung am größten, also die stärkste Abnahme pro Zeit.

1.3 einfach rechnen.

melde dich mit den Schwierigkeiten, die du dabei irgendwo hast, aber zeig deine Rechnungen,

Gruß lul

Answer 2

$$fa(t)=  \frac{1}{a^2}  * (t^3 - 2a * t^2 + a^2 *t) $$für 0 ≤ t ≤ a mit a > 0.

2.1 Berechnen Sie die Extremstellen von fa . Die Untersuchung der notwendigen Bedingung ist ausreichend.

f_a ' (t) = ( 3t^2 - 4at + a^2 ) / a^2   = 0

               <=>  t=a/3 oder t=a

mögliche Extremstellen bei a/3 und bei a.

2.2 Zeigen Sie, dass zum Zeitpunkt t=a die Masse des im Gewebe vorhandenen Medikaments und die Änderungsrate von fa denselben Wert annehmen.

d.h.  f_a(a) = f ' _a(a)

Prüfen, ob beides gleich ist:

  f_a(a) = ( 1/a^2 )  *(  a^3 - 2a*a^2 +a^2 *a ) = ( 1/a^2 )  *(  a^3 - 2a^3 +a^3 ) = 0

f ' _a(a) = 0 wussten wir schon aus Teil 2.1.