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Kernfach Mathematik

Verwenden Sie im Folgenden die Funktionsgleichung \( f(t)=5 t^{3}-60 t^{2}+180 t \)

b) - Untersuchen Sie den Graphen der Funktion \( f \) auf Wendepunkte und interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.

- Berechnen Sie, wie groß die Zunahmerate der Wirkstoffmenge eine Stunde nach der Einnahme des Medikaments ist.

c) Ab dem Zeitpunkt \( t=2 \) lässt sich der weitere Verlauf der Wirkstoffmenge im Blut besser durch eine Funktion \( g \) der Funktionenschar \( g_{a, k}(t)=k \cdot(t-a) \cdot e^{-t} \) (fur \( t \geq 2, k \) und \( a \) sind reelle Zahlen mit \( k \neq 0 \)) beschreiben.

\( \cdot \) Bestimmen Sie diejenige Funktion \( g \) der Funktionenschar \( g_{a, k}, \) deren Graph denselben Hochpunkt wie der Graph von \( f \) besitzt.

Verwenden Sie im Folgenden die Funktionsgleichung \( g(t)=160 \cdot e^{2} \cdot(t-1) \cdot e^{-t} \)

Ermitteln Sie mit Hilfe der Stammfunktionen von \( f \) und \( g \) den Inhalt der gesamten Fläche zwischen dem Graphen zu \( f \) und der \( t \) -Achse über dem Intervall \( [0 ; 2] \) und dem Graphen zu \( g \) und der \( t \) -Achse über dem Intervall \( [2 ; 10] \)

d) Betrachten Sie die Funktionenschar \( h_{a} \) mit \( h_{a}(t)=a \cdot(t-a) \cdot e^{-t} \) und \( a>0 \)

Zeigen Sie, dass der Graph zu \( h_{1} \) keinen der anderen Graphen der Funktionenschar rechtwinklig schneidet.

ha(t) = a·(t - a)·e^{-t}
ha'(t) = e
^{-t}·(t - 2·a)

Schnittpunkt von h1 mit ha

h1(t) = ha(t)

(t - 1)·e^{-t} = a·(t - a)·e^{-t}
(t - 1) = a·(t - a)
t - 1 = at - a^2
t - at = 1 - a^2
t(1 - a) = 
1 - a^2 = (1 + a)(1 - a)
t = 1 + a

Das Produkt der Steigungen darf dort aber nicht -1 sein.

h1'(1+a) * ha'(1+a) = -1
e^{-(1+a)}·((1+a) - 2·1) * e^{-(1+a)}·((1+a) - 2·a) = -1
-e^{-2·(a + 1)}·(a - 1)^2 = -1
e^{-2·(a + 1)}·(a - 1)^2 = 1
e^{-(a + 1)}·(a - 1) = 1
(a - 1) = e^{a + 1}

==> a >= 1 damit beide seiten positiv sind

für a = 1 ist die linke Seite Null und die rechte e^2

Für a>1 steigt die rechte Seite immer stärker als die Linke weshalb die Seiten nie gleich sein können.

Damit gibt es keinen Schnittpunkt der Senkrecht ist.

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f(t) = 5·t^3 - 60·t^2 + 180·t
f '(t) = 15·t^2 - 120·t + 180
f ''(t) = 30·t - 120

Wendepunkte f ''(t) = 0

30·t - 120 = 0
30·t = 120
t = 4

f(4) = 80

Wendepunkt bei W(4 | 80)

Die Wendestelle ist der Zeitpunkt der stärksten Medikamentenabnahme im Blut

f '(1) = 75

Die Zunahmerate der Wirkstoffkonzentration eine Stunde nach Medikamenteneinnahme beträgt 75 (mg?) pro Stunde.

c) Unser Hochpunkt befindet sich bei HP(2 | f(2)) bzw. HP(2 | 160)

g(t) = k·(t - a)·e^{-t}

Bedingung für Hochpunkt

g '(2) = 0
k·e^{-2}·(a - 1) = 0
a = 1

Höhe des Hochpunktes

g(2) = 160
k·e^{-2}·(2 - a) = k·e^{-2}·1 = 160
k = 160·e^2

g(t) = 160·e^2·(t - 1)·e^{-t}

Ich zeichne die Funktion mit in das erste Bild

F(t) = 5·t^4/4 - 20·t^3 + 90·t^2

G(t) = - 160·t·e^{2 - t}

F(2) - F(0) = 220

G(10) - G(2) = (-1600·e^{-8}) - (-320) ~ 319.5

Die Fläche beträgt ungefähr 220 + 319.5 = 539.5 FE

ha(t) = a·(t - a)·e^{-t}
ha'(t) = e
^{-t}·(t - 2·a)

Schnittpunkt von h1 mit ha

h1(t) = ha(t)

(t - 1)·e^{-t} = a·(t - a)·e^{-t}
(t - 1) = a·(t - a)
t - 1 = at - a^2
t - at = 1 - a^2
t(1 - a) = 
1 - a^2 = (1 + a)(1 - a)
t = 1 + a

Das Produkt der Steigungen darf dort aber nicht -1 sein.

h1'(1+a) * ha'(1+a) = -1
e^{-(1+a)}·((1+a) - 2·1) * e^{-(1+a)}·((1+a) - 2·a) = -1
-e^{-2·(a + 1)}·(a - 1)^2 = -1
e^{-2·(a + 1)}·(a - 1)^2 = 1
e^{-(a + 1)}·(a - 1) = 1
(a - 1) = e^{a + 1}

==> a >= 1 damit beide seiten positiv sind

für a = 1 ist die linke Seite Null und die rechte e^2

Für a>1 steigt die rechte Seite immer stärker als die Linke weshalb die Seiten nie gleich sein können.

Damit gibt es keinen Schnittpunkt der Senkrecht ist.

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