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Hallo liebe User,

haben in der letzden Stunde im Unterricht eine Mathe Abi Aufgabe zum Üben bekommen. An dieser sollten wir uns einmal Versuchen. Habe die erste Aufgabe a) schon berechnet und mit b) angefangen. Bei b) bin ich mir jedoch nicht Sicher ob ich alles richtig gemacht habe und würde mich über den richtigen Rechenweg freuen.

Bei Aufgabe c) und d) weiß ich leider nicht weiter und würde mich auch hier ebenfalls über den korrekten Rechenweg freuen

 

Vielen Dank :)

Für die Suche:

' Kemfach MathematikVerwenden Sie im Folgenden die Funktionsgleidiung f(t) = 5 f’ — 60 t’ + 180 t.b) e Untersuchen Sie den Graphen der Funktion f auf Wendepunkte und interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.

o Berechnen Sie. wie groß die Zunahmerate der Wirkstofimervge eine Stunde nach derEinnahme des Medikaments ist.(5 P)

c) Ab dem Zeitpunkt t = 2 lässt sich der weitere Veriauf der Wirkstoffmenge im Blut besser durch eine Funktion g der Funktionenschar g„„(t) = k - (t — a) - e“i_ (für t 2 2. k und a sind reelle Zahlen mit k a! 0) beschreiben.

e Bestimmen Sie diejenige Funktion g der Funktionenschar g“, deren Graph denselbenHochpunkt wie der Graph von f besitzt.

Verwenden Sie im Folgenden die Funktionsgleichung g(t) = 160- e’ - (t — l) -e".

e Ermitteln Sie mit Hilfe der Starnmfunktionen von f und g den lnhalt der gesamtenFläche zwischen dem Graphen zu f und der t-Achse über dem Intervall [0; 2] und demGraphen zu g und der t-Achse über dem Intervall I2; 10].(11 P)

d) Betrachten Sie die Funktionenschar h, mit h‚(t) = a - (t — a) - e“ und a > O. Zeigen Sie. dass der Graph zu h, keinen der anderen Graphen der Funktionenschar recht-winklig schneidet.(3 P)

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f(t) = 5·t^3 - 60·t^2 + 180·t
f '(t) = 15·t^2 - 120·t + 180
f ''(t) = 30·t - 120

Wendepunkte f ''(t) = 0

30·t - 120 = 0
30·t = 120
t = 4

f(4) = 80

Wendepunkt bei W(4 | 80)

Die Wendestelle ist der Zeitpunkt der stärksten Medikamentenabnahme im Blut

f '(1) = 75

Die Zunahmerate der Wirkstoffkonzentration eine Stunde nach Medikamenteneinnahme beträgt 75 (mg?) pro Stunde.

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c) Unser Hochpunkt befindet sich bei HP(2 | f(2)) bzw. HP(2 | 160)

g(t) = k·(t - a)·e^{-t}

Bedingung für Hochpunkt

g '(2) = 0
k·e^{-2}·(a - 1) = 0
a = 1

Höhe des Hochpunktes

g(2) = 160
k·e^{-2}·(2 - a) = k·e^{-2}·1 = 160
k = 160·e^2

g(t) = 160·e^2·(t - 1)·e^{-t}

Ich zeichne die Funktion mit in das erste Bild

F(t) = 5·t^4/4 - 20·t^3 + 90·t^2

G(t) = - 160·t·e^{2 - t}

F(2) - F(0) = 220

G(10) - G(2) = (-1600·e^{-8}) - (-320) ~ 319.5

Die Fläche beträgt ungefähr 220 + 319.5 = 539.5 FE

ha(t) = a·(t - a)·e^{-t}
ha'(t) = e
^{-t}·(t - 2·a)

Schnittpunkt von h1 mit ha

h1(t) = ha(t)

(t - 1)·e^{-t} = a·(t - a)·e^{-t}
(t - 1) = a·(t - a)
t - 1 = at - a^2
t - at = 1 - a^2
t(1 - a) = 
1 - a^2 = (1 + a)(1 - a)
t = 1 + a

Das Produkt der Steigungen darf dort aber nicht -1 sein.

h1'(1+a) * ha'(1+a) = -1
e^{-(1+a)}·((1+a) - 2·1) * e^{-(1+a)}·((1+a) - 2·a) = -1
-e^{-2·(a + 1)}·(a - 1)^2 = -1
e^{-2·(a + 1)}·(a - 1)^2 = 1
e^{-(a + 1)}·(a - 1) = 1
(a - 1) = e^{a + 1}

==> a >= 1 damit beide seiten positiv sind

für a = 1 ist die linke Seite Null und die rechte e^2

Für a>1 steigt die rechte Seite immer stärker als die Linke weshalb die Seiten nie gleich sein können.

Damit gibt es keinen Schnittpunkt der Senkrecht ist.

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