Wie groß ist die Dimension von U?

Question

Hallo :

hier verstehe ich nicht (kann nicht) die Dimension von U bestimmen. Also ich habe schon gezeigt dass U ist ein Unterraum von R^4 und habe michr gedacht, dass vektoren, deren Skalarprodukt null ist, sind Orthogonalvektoren. 
Was ich dann gedacht habe ist aber dass diese Bedigung gilt für unendlich viele Vektoren, daher bin ich nicht sicher wie kann ich zeigen die Dimension von U.

Natürlich wird sie <= 4, weil U ein Unterraum von R^4.

Rechnerisch gesehen habe ich gemerkt dass jeweiligen Vektor x in R^4 der, die Bedigung hat, dass die Summe seine Koordinaten 0 ergibt, kann als x eingesetzt werden, weil so scheint klar < a , x > = 0.

Trotzdem weiß noch nicht wie kann ich diese Informationen nutzen um die Dimension von U zu zeigen.

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

<a,x>=0 heißt doch für x=(x1,x2,x3,x4)

                 x1 + x2 + x3 + x4 = 0

Eine (nicht triviale) homogene lineare Gleichung mit 4 Variablen

hat einen Lösungsraum der dim=3.

Kannst auch ne Basis bestimmen:

x1=a  x2=b  x3= c  und   x4 = -a-b-c also

Lösungen x =

a                                1                    0                     0
b                        a*     0       + b *    1          +  c *   0
c                  =            0                    0                     1
-a-b-c                        -1                   -1                    -1

offenbar drei lin. unabhängige Erzeugende, also Basis.

Comments

Wie kann ich zeigen dass diese Lineare Gleichung hat einen Losungsraum der dim=3? und was bedeutet dass genau? Entschuldigung für die weitere Fragen, aber ich habe nicht ganz verstanden

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Hab was ergänzt.