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Aufgabe:

Wir betrachten den Meßraum (ℤ, P(ℤ)). Bestimmen Sie alle Maße μ mit

μ(E + 2) = μ(E)    (E ⊆ ℤ)


Problem/Ansatz:

Ich weiß leider gar nicht, wie ich das angehen soll...

Bitte um Tipps!

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Beste Antwort

Schnapp dir mal so ein Maß \( \mu \), da es sich um ein diskretes Maß handelt gilt:

$$ \forall A \in \mathcal{P}(\mathbb{Z}) : \mu(A) = \sum\limits_{x \in A} \mu(\{x\}) $$

denn offenbar \( A = \overset{\bullet}{\cup}_{x\in A} \{x\} \) abzählbare p.w. disjunkte messbare Zerlegung.

Des Weiteren

$$ \dotsm = \mu(\{-2\}) =  \mu(\{-2\}+2) = \mu(\{0\}) = \mu(\{0\}+2) =  \mu(\{2\}) = \dotsm $$

$$ \dotsm = \mu(\{-1\}) =  \mu(\{-1\}+2) = \mu(\{1\}) = \mu(\{1\}+2) =  \mu(\{3\}) = \dotsm $$

Also ist das Maß durch die Angabe von \( \mu(\{0\}) \) und \( \mu(\{1\}) \) eindeutig bestimmt.

Avatar von 6,0 k

Perfekt! Danke dir

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