Wie bestimme ich einen Funktionsterm 3. Grades? Sattelpunkt in P(-2|0)

Question

Der Graf einer ganzrationalen Funktion 3. Grades hat in P(-2/0) einen Sattelpunkt und verläuft durch Q (-3/6)

Eine Frage hier wäre, wie bestimme ich den Funktionsterm?

 Vielen lieben Dank

Answer 1

die allgemeine Form für eine Funktion 3. Grades ist

$$f(x)= ax^3+bx^2+cx+d$$

$$f'(x)=3ax^2+2bx+c\\ f''(x)=6ax+2b$$

Sattelpunkt in P (-2|0) ⇒

f(-2) = 0

f'(-2) = 0

f''(-2) = 0

Punkt Q (-3|6) ⇒ f(-3) = 6

Daraus kannst du ein Gleichungssystem mit vier Gleichungen bilden.

Gruß, Silvia

Comments

Falls diese Informationen nicht reichen, kannst du auf die Lösung klicken, aber du solltest es erst einmal selbst versuchen.

$$\begin{aligned} -8a+4b-2c+d&=0\\ 12a-4b+c &= 0\\ -12a+2b&=0\\ -27a+9b-3c+d&=6 \end{aligned}\\ f(x)=-6x^3-36x^2-72x-48$$

Answer 2

Alternativer Ansatz: g(x) = c·(x + 2)³.

Comments

Könntest du das bitte mal ausführen?

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Ein Sattelpunkt ist eine dreifache Nullstelle, da $f(x_S)=f'(x_S)=f''(x_S)=0$ wenn $x_S$ die x-Koordinante vom Sattelpunkt (SP) ist.

https://www.mathebibel.de/vielfachheit-von-nullstellen

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Danke, ein eleganter Ansatz!

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Mir kam, als ich hier angefangen habe, folgenden Ansatz bei diesem Aufgabentypus zu nehmen:

Eine ganzrationale Funktion dritten Grades hat einen Extremum bei -3 und bei 2

$f'(x)=(x+3)(x-2)$

$f(x)=\int_{}^{}(x+3)(x-2) \text{ dx}=\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2-6x$

Ob das klappt? :)

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Es muss nicht notwendigerweise f(0)=0 gelten und f' muss nicht normiert sein.

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f(0)=0 hat auch niemand behauptet. Oder von was redest Du?

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Wenn f(x) = x³/3 + x²/2 - 6x ist, lässt sich f(0)=0 kaum vermeiden.

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Das liegt wohl daran, dass sich eine ganzrationale Funktion dritten Grades nicht durch zwei Bedingungen definieren lässt.

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racine_carrée, dein Ansatz passt unter anderem auch deswegen nicht zur gesuchten Funktion, weil diese gar keine Extremstellen besitzen kann.

Würde sie Extremstellen besitzen, dann könnte man in der Tat versuchen, eine Integralbedingung aufzustellen, dann aber natürlich mit der Integrationskonstanten.

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Ich führe das mal aus:

$g(x) = c·(x + 2)^3$ 

$Q (-3|6)$

$g(-3) = c·(-3 + 2)^3=-c$

$-c=6$

$c=-6$

$g(x) = -6·(x + 2)^3$

Answer 3

die allg. Form lautet: $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$

die Bedingungen lauten

Q (-3/6)

f(-3)=6

P (-2/0)Einen Sattelpunkt

f(-2)=0
f'(-2)=0
f''(-2)=0

Diese setzt du dann in die Funktionsgleichung bzw. ihre Ableitungen ein und löst am Ende das aufgestellte LGS.