Wie kann eine Abbildungsmatrix in einem anderen Vektorraum als Definitions- und Wertemenge sein?

Question

Schönen Abend,

zu beginn schnell der Kontext, die Frage steht am Ende.

Ich lerne gerade für meine Lineare Algebra Klausur und habe gerade folgende Aufgabe um Abbildungsmatrizen gelöst:

Aufgabe:

Es sei (C ist komplexe Zahlenmenge) $$A \in C^{2 \times 2}$$ und

$$L_{A} : C^{2 \times 2} \rightarrow C^{2 \times 2}, \quad X \mapsto A \cdot X$$die Abbildung, die durch Linksmultiplikation mit A gegeben ist.

b) Es sei nun $$A=\left( \begin{array}{cc}{-1} & {2} \\ {2} & {-4}\end{array}\right)$$

Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix von L_A bezüglich der geordneten Basis

$$B=\left\{\left( \begin{array}{ll}{1} & {0} \\ {0} & {0}\end{array}\right), \left( \begin{array}{ll}{0} & {1} \\ {0} & {0}\end{array}\right), \left( \begin{array}{ll}{0} & {0} \\ {1} & {0}\end{array}\right), \left( \begin{array}{ll}{0} & {0} \\ {0} & {1}\end{array}\right)\right\}$$

Ergebnis:

Das auszurechnen ist nicht schwer, ich kam zum Ergebnis für die Abbildungsmatrix (im folgenden M) auf:

$$M=\left( \begin{array}{cccc}{-1} & {0} & {2} & {0} \\ {0} & {-1} & {0} & {2} \\ {2} & {0} & {-4} & {0} \\ {0} & {2} & {0} & {-4}\end{array}\right)$$ Und das stimmt mit der Musterlösung überein.

Meine Frage ist jetzt jedoch nur, sollte dann nicht gelten:

$$L_{A}(X)= M \cdot X $$

Ich dachte das ist der Sinn der Abbildungsmatrix, jedoch kann ich eine 4x4 Matrix ja nicht mit einer 2x2 Matrix multiplizieren. Liegt mein Fehler im Verständnis der Abbildungsmatrix?

Ich würde mich über Hilfe freuen, sonst zergrüble ich mir das ganze Wochenende den Kopf, ich freue mich jedenfalls auf Antworten.

Mit freundlichen Grüßen,

Patrick

Comments

L_A (X) ↔ M·x

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L_A (X) ↔ M·x

Ich verstehe nicht, was mir das sagen soll, das habe ich doch selbst geschrieben oder nicht? Mein Problem ist ja, dass M eine 4x4 und x eine 2x2 Matrix ist, mit unterschiedlichen Dimensionen kann man doch nicht multiplizieren?

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das habe ich doch selbst geschrieben oder nicht?

Du hast rechts ein großes X, bei mir steht ein kleines x.

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Achso, und welchen Unterschied macht das? Das Problem mit den Dimensionen besteht doch immernoch, nicht?

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Du musst unterscheiden zwischen dem Vektor an sich (das ist X, eine 2x2 Matrix) und seiner Koordinatendarstellung bezüglich einer gewählten Basis (das ist x, ein Spaltenvektor mit 4 Einträgen).

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Ah so langsam bewegen sich die Zahnräder bei mir, vielen Dank auf jedenfall, das hat einiges aufgeklärt!

Sprich $$\left( \begin{array}{cccc}{-1} & {0} & {2} & {0} \\ {0} & {-1} & {0} & {2} \\ {2} & {0} & {-4} & {0} \\ {0} & {2} & {0} & {-4}\end{array}\right) \cdot \left( \begin{array}{c}{x1}\\ {x2}\\ {x3} \\ {x4}\end{array}\right) = L_{A}(x); X = \left( \begin{array}{cc}{x1} & {x2} \\ {x3} & {x4}\end{array}\right)$$

Jetzt macht für mich das ganze rechnerisch Sinn.

Trotzdem verstehe ich es noch nicht ganz, wie komme ich denn auf einen Spaltenvektor wenn die Basis aus 2x2 Matrizen besteht? Also rechnerisch korrekt, wie komme ich von X auf x?

Reicht das hier? Falls ja, wieso darf ich davon auf einen Spaltenvektor schließen?

$$\left( \begin{array}{rr}{x1} & {x2} \\ {x3} & {x4}\end{array}\right)=x1 \cdot b_{1}+x2 \cdot b_{2}+x3 \cdot b_{3}+x4 \cdot b_{4}$$

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L_A (x) (mit kleinem x) zu schreiben wie du es machst, passt nicht.

L_A ist die Abbildung an sich, die auf einen Vektor, also ein Element X des Vektorraumes (d.h. eine 2x2 Matrix) angewandt wird.
Das Ergebnis dieser Abbildung ist wieder eine 2x2 Matrix Y = L_A (X).

Nun können sowohl die Vektoren X als auch Y bezüglich einer Basis eindeutig durch ihre Koordinaten (in Form eines Vektors, bei dem die Anzahl der Einträge gleich der Dimension des Vektorraumes ist) dargestellt werden, die lineare Abbildung L_A entsprechend (ebenfalls basisabhängig) durch eine Matrix M.

Ob man die Vektoren x und y zeilenweise oder spaltenweise schreiben möchte ist prinzipiell egal. Aus der Form  y = M·x  folgt, dass es sich um Spaltenvektoren handelt, anderenfalls wäre  y = x·N mit  N = M^T.

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Ah jetzt kann ich das ganze nachvollziehen. Ich danke dir für deine ausführliche Hilfe, mir wurde einiges an Stress erspart! :)

Answer 1

Hallo

überflüssige Antwort, sorry, die vorigen Antworten hatte ich nicht gesehen.

du kannst die Basen doch als b1=(1,0,0,0) schreiben usw

 Vektoren in der Basis etwa (2,0,3,4) ist dann 2b1+3b3+4b4

Gruß wie bist du sonst auf dein M gekommen?

Gruß lul