Für welchen Wert ist die Fläche des Dreiecks maximal? (Gerade und e-Funktion)

Question

Aufgabe:

f(x) = 3x*e^-x

g(x) = 0.5x

Die Graphen beider Funktionen schneiden sich bei x=0 und x_s.

Die Punkte P(u|f(u)), der Koordinatenursprung und der Punkt Q(u|g(u)) bilden für 0<u<x_s ein Dreieck.

Für welchen Wert von u ist die Fläche dieses Dreiecks am größten?

Problem/Ansatz:

Bin etwas eingerostet, was diese Art von Extremwertproblemen angeht. Mein Ansatz wäre:

A = (g*h)/2  (Grundseite hier = u?)

x_s ≈ 1,79

Weiter komme ich leider nicht mehr. Wäre für jede Hilfe dankbar!

Answer 1

Das Dreieck hat dieGrundseite f(u)-g(u) und die Höhe u, also die Fläche F(u)=u/2·(3ue^-u-u/2).

F'(u)=(3u·e^-u(2-u)-u)/2. Die zweite Nullstelle dieser Ableitung kann nur näherungsweise bestimmt werden.

u₁=0 u₂≈1,05.

Answer 2

A(u) = u*f(u) / 2    -  u*g(u) / 2   und es ist x_s=ln(6)≈1,8

A ' (u) = (3u-3u^2 / 2 )e^(-u)  - u/2

A ' (u) = 0 <=>  u=0 oder u≈1,049 (Newtonverfahren)

Für u≈1,049  ist A maximal.