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Aufgabe:

Die beiden durch die Gleichungen y = x und y=   -2(x-2)   gebenen Parabeln

beranden mit der x-Achse fĂŒr y>0 ein FlĂ€chenstĂŒck (im ersten Quadranten), dem ein mit
einer Seite auf der x-Achse liegendes Rechteck grĂ¶ĂŸten Umfangs einbeschrieben werden
soll. Bestimmen Sie die Eckpunkte dieses Rechtecks.


Problem/Ansatz:

Hallo liebe Leute, ich habe folgendes Problem. Ich habe die beiden Gleichungen gleichgesetzt und fĂŒr x = 4/3 erhalten.

Dies ist ja der Schnittpunkt der beiden Funktionen.

Nun weiß ich aber nicht wie ich weitermachen soll.

Ich könnte die beiden Funktionen integrieren ( einmal von 0 bis 4/3 fĂŒr die erste Funktion und einmal von 4/3 bis 2 fĂŒr die nĂ€chste Funktion) und ich glaube auch dass ich das machen muss. Allerdings verstehe ich den Zusammenhang nicht und mir wĂ€re auch nicht klar wie ich anschließend weitermachen soll um an die Eckpunkte zu gelangen.


Ich hoffe und bitte um schnelle und ausfĂŒhrliche Hilfe.

Lg

vor von

Genau, soweit bin ich auch schon.

Ich habe fĂŒr die Begrenzungen durch die Funktionen links und rechts einmal 0 und einmal 2.

Der Schnittpunkt der beiden Funktionen liegt ja wie gesagt bei 4/3 und der zugehörige y-Wert ist dann \( \frac{2\sqrt{3}}{3} \).

Allerdings verstehe ich immernoch nicht, wie ich weiter verfahren soll.

Muss ich eine Zielfunktion aufstellen bei der es sich irgendwie um eine Funktion fĂŒr den Umfang handelt?

3 Antworten

+1 Punkt
Die beiden durch die Gleichungen y^2  = x und y^2 =  -2(x-2)  gebenen Parabeln

Als ersten Schritt wĂŒrde ich dir vorschlagen zunĂ€chst eine kleine Skizze anzufertigen.

Es könnte nĂŒtzlich sein die x- und y-Achse spĂ€ter zu vertauschen.

vor von 277 k

Wie ist das mit dem x und y Achse vertauschen gemeint?

Tja. Was könnte damit gemeint sein.

~plot~ x^2;2-0.5x^2;x=1/3;1/9;35/18;[[0|4|0|3]] ~plot~

Ich glaube mein Problem ist, dass ich nicht verstehe, wie ich an so eine Aufgabe allgemein herangehen kann.

Bzw. was fĂŒr Handwerkszeug ich fĂŒr diese Aufgabe brauche.

Ein Bekannter meinte ich solle mal probieren eine Umfangsfunktion aus den beiden gegebenen Funktionen zu kreieren. Diese dann ableiten um den Hochpunkt der Umfangsfunktion zu bestimmen.

Macht das Sinn?

Mir fehlt einfach der Zusammenhang des Ganzen.

Ich wĂŒrde mich um einen kleinen Tipp bzw. einen Ansatz freuen, welcher mir weiterhilft und um eine eventuelle Antwort auf die oben beschriebene Herangehensweise meines Bekannten.

Lg

Wie gesagt. Mache dir selber mal eine Skizze. Im Anschluss vertauscht du mal die x und die y-Achse. D.h. die x-Achse zeigt nach oben und die y-Achse nach rechts. Dann sollte es so aussehen wie in meiner Skizze. Dann zeichnest du mal das Rechteck ein. Ausgerechnet und eingezeichnet habe ich es auch schon. Allerdings sollst du es nachvollziehen und nachrechnen.

Extremwertaufgabe.jpg

So... jetzt habe ich die Umfangsfunktion (hoffentlich richtig)....aber wie verfahre ich weiter?

Bitte um verstÀndliche ErklÀrung warum und wie es weitergeht...

Ja. Die Umfangfunktion ist richtig.

Also nun noch Ableitung bilden und diese gleich Null setzen. Das ist ja eine Notwendige Bedingung fĂŒr ein Maximum. Bei der nach unten geöffneten Parabel ist es auch ein Maximum und kein Minimum.

Du bekommst fĂŒr y dann wohl 1/3 heraus oder?

+1 Punkt

y^2  = x und y^2 =  -2(x-2) 

Hier die Skizze

gm-132.jpg

Vorgehensweise
Du siehst y als freie Variable an.
und bestimmt die Schnittpunkte mit den Funktionen.
x = y^2
und
x = 2 - y^2 / 2
Δ x ( obere Breite des Rechtecks ) = ( 2 - y^2 / 2 ) - y^2
Δ x = 2 - 3 / 2 * y^2

Der Umfang des Rechtecks ist
U ( y ) = 2*y + 2 * ( 2 - 3 / 2 * y^2 )
1.Ableitung bilden
U ÂŽ( y ) = 2 + 6 * y
Extremwert
2 + 6 * y = 0
y = 1/3

vor von 84 k
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blob.png

Das ist die Situation. Notiere dazu Breite und Höhe des Rechtecks.

vor von 15 k

Genau, soweit bin ich auch schon.

Ich habe fĂŒr die Begrenzungen durch die Funktionen links und rechts einmal 0 und einmal 2.

Der Schnittpunkt der beiden Funktionen liegt ja wie gesagt bei 4/3 und der zugehörige y-Wert ist dann \( \frac{2\sqrt{3}}{3} \) .

Allerdings verstehe ich immernoch nicht, wie ich weiter verfahren soll.

Muss ich eine Zielfunktion aufstellen bei der es sich irgendwie um eine Funktion fĂŒr den Umfang handelt?

Nun könnte man zum Beispiel mit \((x\vert 0)\) den unteren linken Eckpunkt des Rechtecks bezeichnen.

Ja genau.

Somit mĂŒsste ich ebenfalls fĂŒr den unten rechts liegenden Eckpunkt (x+\( \frac{4}{3} \)/0) erhalten oder?

Aber ist das Ziel dieser Aufgabe nicht eigentlich ĂŒber die Differential- und oder Integralrechnung an die Lösung zu gelangen?

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