Antwort mit KI erzeugt
a) Berechnung von \(E[X_1]\)
Um den Erwartungswert \(E[X_1]\) zu berechnen, nutzen wir die gegebene Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X_1\). Der Erwartungswert einer Zufallsvariable ist definiert als die Summe der Produkte aus den möglichen Werten der Variable und deren Wahrscheinlichkeiten. Für \(X_1\) ergibt sich also:
\(
E[X_1] = 1 \cdot 0.5 + (-1) \cdot 0.5 = 0.5 - 0.5 = 0
\)
b) Berechnung von \(E[S_n]\)
Da \(S_n\) die Summe von \(n\) unabhängigen und identisch verteilten \(X_i\) ist, wobei jedes \(X_i\) den Erwartungswert 0 hat (wie in Teil a gezeigt), ergibt sich der Erwartungswert von \(S_n\) durch die Linearität des Erwartungswertes. Der Erwartungswert der Summe ist gleich der Summe der Erwartungswerte der einzelnen Zufallsvariablen. Da jedes \(X_i\) einen Erwartungswert von 0 hat, ist der Erwartungswert von \(S_n\), unabhängig von \(n\), ebenfalls 0:
\(
E[S_n] = E[X_1 + X_2 + \dots + X_n] = E[X_1] + E[X_2] + \dots + E[X_n] = n \cdot 0 = 0
\)
c) Bestimmung von \(g(n)\) damit die Varianz bzw. Standardabweichung von \(S_n / g(n)\) konstant bleibt
Zuerst berechnen wir die Varianz von \(X_i\). Die Varianz ist definiert als \(Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2\). Für \(X_i\) bedeutet das:
\(
Var(X_i) = E[X_i^2] - (E[X_i])^2
\)
Da \(E[X_i] = 0\), vereinfacht sich der Ausdruck zu \(Var(X_i) = E[X_i^2]\). Da beide mögliche Werte von \(X_i\) (1 und -1) quadriert den Wert 1 ergeben, ist \(E[X_i^2] = 1 \cdot 0.5 + 1 \cdot 0.5 = 1\). Damit ist \(Var(X_i) = 1\).
Da die \(X_i\) unabhängig sind, ist die Varianz von \(S_n\) gleich der Summe der Varianzen der \(X_i\):
\(
Var(S_n) = Var(X_1 + X_2 + \dots + X_n) = Var(X_1) + Var(X_2) + \dots + Var(X_n) = n \cdot 1 = n
\)
Nun zu \(g(n)\): Wenn \(S_n / g(n)\) eine konstante Varianz haben soll, setzen wir die Varianz von \(\frac{S_n}{g(n)}\) gleich einer Konstanten \(k\). Die Varianz einer durch eine Konstante geteilten Zufallsvariable ist gleich der Varianz der ursprünglichen Zufallsvariable geteilt durch das Quadrat der Konstante:
\(
Var\left(\frac{S_n}{g(n)}\right) = \frac{Var(S_n)}{g(n)^2} = \frac{n}{g(n)^2} = k
\)
Um die Varianz konstant zu halten, unabhängig von \(n\), ergibt sich \(g(n)^2 = \frac{n}{k}\). Für eine konstante Varianz \(k\) muss also \(g(n) = \sqrt{\frac{n}{k}}\) sein. Um \(g(n)\) ohne Abhängigkeit von der spezifischen Konstanten \(k\) auszudrücken, und da \(k\) bloß dazu dient, die Skalierung der Varianz zu steuern, kann man ohne Beschränkung der Allgemeinheit \(k = 1\) setzen, um die Formel zu vereinfachen. Dann ist \(g(n) = \sqrt{n}\), um die Varianz bzw. die Standardabweichung konstant zu halten.
