Darstellende Matrix Polynom

Question

Aufgabe:

Es sei

$$ \mathcal{B}:=(T^0,...,T^n) $$ eine Basis für V und es sei

$$ D:~V \rightarrow V, \ \sum_{k=0}^n a_k\cdot T^k \ \mapsto \sum_{k=1}^n k\cdot a_k\cdot T^{k-1} $$

eine lineare Abbildung. Gesucht ist die darstellende Matrix $$ M_\mathcal{B}^\mathcal{B}(D) $$

Problem/Ansatz:

Bisher habe ich das hier:

$$ M_\mathcal{B}^\mathcal{B}(D)=\Bigg(x_\mathcal{B}(D(T^0)),...,x_\mathcal{B}(D(T^n)) \Bigg)=?$$

Wie soll es dann weitergehen? Mich verwirrt schon die Tatsache, dass man hier Monome als Agrument benutzt, obwohl für D doch ein Polynom als Argument vorgesehen ist. Oder ist das vielleicht so gemeint?

$$ T^j=\sum_{k=0}^n a_k\cdot T^k=a_0\cdot T^0+...+a_j\cdot T^j+...+a_n\cdot T^n, \quad \forall k\in \{0,..,n\}\setminus{\{j\}} \text{ mit }0\leq j \leq n: a_k=0 \land a_j=1 $$

Comments

Ja, genauso ist das gemeint.

$$ T^0 = 1 \cdot T^0 + 0 \cdot T^1 + 0 \cdot T^2 + \dotsm + 0 \cdot T^n$$ $$ T^1 = 0\cdot T^0 + 1 \cdot T^1 + 0 \cdot T^2 + \dotsm + 0 \cdot T^n$$

Usw. Die Abbildung ordnet übrigens einem Polynom seine "Ableitung" zu.

Answer 1

\(D: \ V \rightarrow V, \ \sum_{k=0}^n a_k\cdot T^k \ \mapsto \ \sum_{k=1}^n k\cdot a_k\cdot T^{k-1}\)

Dann ist zum Beispiel für n = 5

       D(T³)
            = D(0·T⁰ + 0·T¹ + 0·T² + 1·T³ + 0·T⁴ + 0·T⁵)
            = 0·0·T^-1 + 1·0·T⁰ + 2·0·T¹ + 3·1·T² + 4·0·T³ + 5·0·T⁴
            = 3T²

Comments

Ok, danke schonmal für eure (EmNero und oswald) Antworten.

Würde es dann weiter so lauten?:

$$ M_\mathcal{B}^\mathcal{B}(D)=\Bigg(x_\mathcal{B}(D(T^0)),x_\mathcal{B}(D(T^1)),...,x_\mathcal{B}(D(T^{n-1})),x_\mathcal{B}(D(T^n)) \Bigg)\\=\Bigg(x_\mathcal{B}(0\cdot T^{0-1}),x_\mathcal{B}(1\cdot T^{1-1}),...,x_\mathcal{B}((n-1)\cdot T^{(n-1)-1}),x_\mathcal{B}(n\cdot T^{n-1}) \Bigg)\\=\Bigg(x_\mathcal{B}(0),x_\mathcal{B}(1),...,x_\mathcal{B}((n-1)\cdot T^{n-2}),x_\mathcal{B}(n\cdot T^{n-1}) \Bigg)\\=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 &\cdots  & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 &\cdots & 0 & 0\\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & n-1 & 0\\0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & n\end{pmatrix} $$

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Ich glaub, ich hab da eine Zeile vergessen, da ich mich auf die Basis B beziehen soll:

$$ M_\mathcal{B}^\mathcal{B}(D)=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 &\cdots  & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 &\cdots & 0 & 0\\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & n-1 & 0\\0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & n\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\end{pmatrix} $$