Eigenvektor und Eigenraum =0? Trotz Eigenwerten

Question

Aufgabe:

Ich habe folgende Matrix gegeben:

C= $\begin{pmatrix} 3 & 9 \\ 5 & 7 \end{pmatrix}$

Nun habe ich folgende Eigenwerte berechnet: k1= 2 und k2=12

Bin unsicher ob ich die richtigen Eigenvektoren berechnet habe.

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand sagen welche Eigenvektoren ich erhalte?

Ich habe die gleichungssysteme aufgestellt und die Eigenvektoren (0,0) für k1 erhalten und (1,1) für k2

Weiß nicht ob das stimmt, ob ein eigenvektor den Wert (0,0) haben kann.

Hoffe jemand kann mir erklären wie ich da vorgehen muss.

Liebe Grüße

Comments

k₁=2 ist kein EW.

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Boah Danke haha, habe natürlich k= -2 rausgehabt und aus versehen mit 2 gerechnet. Oh Danke, manchmal bemerkt man es einfach nicht.

Answer 1

Der Nullvektor kann laut Definition kein Eigenvektor sein. Vermutlich ist die Definition deshalb so, weil der Nullvektor ansonsten immer ein Eigenvektor wäre un (wichtiger) jeder Wert ein Eigenwert wäre.

Gleichungssystem aufstellen ist prinzipiell richtig. Wie sieht dein Gleichungssystem aus?

Comments

Kannst du mir sagen wo mein Denkfehler ist? Was wäre denn der Eigenvektor zum Eigenwert=2? Danke schonmal

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Eigenwerte sind 12 und -2, nicht 12 und 2. Insofern ist es logisch, dass du für 2 den "Eigenvektor" (0,0) bekommst.

Answer 2

$\small \left|\begin{array}{rr}-\ell + 3&9\\0&\frac{-\ell^{2} + 10 \; \ell + 24}{\ell - 3}\\\end{array}\right|=0$

$\small Eigenwerte \, := \, \left\{ -2, 12 \right\}$

$\small DimEigenraum \, := \, \left\{ 1, 1 \right\}$

$\small \left(\begin{array}{rrrr}\lambda=&-2&\left(\begin{array}{rr}5&9\\5&9\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\\end{array}\right) = 0\\\lambda=&12&\left(\begin{array}{rr}-9&9\\5&-5\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\\end{array}\right) = 0\\\end{array}\right)$

$\small LG\lambda i \, := \, \left(\begin{array}{rr}5 \; x1 + 9 \; x2&5 \; x1 + 9 \; x2\\-9 \; x1 + 9 \; x2&5 \; x1 - 5 \; x2\\\end{array}\right)$

$\small A\lambda i \, := \, \left(\begin{array}{rr}-\frac{9}{5} \; x2&x2\\x2&x2\\\end{array}\right)$

$\small EVi \, := \, \left\{ \left(\begin{array}{rr}-\frac{9}{5}&1\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{rr}1&1\\\end{array}\right) \right\}$

Comments

Naja das könnte mir jetzt nicht wirklich weiterhelfen weil ich diesen Bruch in der ersten Matix leider nicht verstehe

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Determinante?

Berechne ich indem ich eine Dreieckmatrix erzeuge. E(2,1,5/(l-3)): Zeile1*5/(l-3)+Zeile2
Die Eigenwerte hat Du ja richtig - nach meiner Rechnung. Zu Deiner Rechnung

3 - (-2) usw...