ich soll beweisen, dass folgende Eigenschaften bei einer Metrik d auf R^n, die von einer Norm auf R^n induziert ist, gelten:
(1) d(0, αv) = |α| · d(0, v) für alle α ∈ R und v ∈ R^n.
(2) d(v + w, u + w) = d(v, u) für alle u,v,w ∈ R^n.
Mir fehlt irgendwie ein Ansatz... Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?
Wenn die Metrik von einer Norm induziert wird,
gilt ja d(x,y) = || y-x || .
Alsofür alle α ∈ R und v ∈ R^n
d(0, αv) = || αv - 0 ||
= || αv || und nach den Gesetzen der Norm
= | α | * ||v ||
= | α | * ||v - 0 ||
= |α| · d(0, v) .
und für alle u,v,w ∈ R^n
d(v + w, u + w) = || (u+w) - (v+w) ||
= || u+w - v - w ||
= || u- v ||
= d(v, u)
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