Eigenschaften einer Metrik

Question

ich soll beweisen, dass folgende Eigenschaften bei einer Metrik d auf Rⁿ, die von einer Norm auf Rⁿ induziert ist, gelten:

(1) d(0, αv) = |α| · d(0, v) für alle α ∈ R und v ∈ Rⁿ.

(2) d(v + w, u + w) = d(v, u) für alle u,v,w ∈ Rⁿ.

Mir fehlt irgendwie ein Ansatz... Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?

Answer 1

Wenn die Metrik von einer Norm induziert wird,

gilt ja d(x,y) = || y-x || .

Alsofür alle α ∈ R und v ∈ Rⁿ

 d(0, αv) = || αv - 0 ||

              = || αv ||  und nach den Gesetzen der Norm

               = | α | * ||v  ||

              = | α | * ||v  - 0  ||

              = |α| · d(0, v) .

und für alle u,v,w ∈ Rⁿ

d(v + w, u + w) = || (u+w) - (v+w) ||

                         = || u+w - v - w ||

                                 = || u- v ||

                             =   d(v, u)