Gleichmäßige Konvergenz von fn(x) = (x - x^2)^n

Question

Aufgabe:

Ich soll in einer Aufgabe folgende Funktionsfolge: $$ f_{n}(x)=\left(x-x^{2}\right)^{n}, \quad D=[0,1] $$ mit  $$f_{n} : D \rightarrow \mathbb{R}$$ auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz untersuchen.

Problem/Ansatz:

Punktweise Konvergenz habe ich bereits bewiesen. Da x zwischen 0 und 1 liegt konvergiert die Funnktionsfolge gegen null. Nun frage ich mich, wie ich gleichmäßige Konvergenz zeigen kann?

Answer 1

Konvergiert gleichmäßig. Die Grenzfunktion hast du ja schon :  f(x)=0.

Muss also nur zeigen:

Zu jedem ε>0 gibt es ein k∈ℕ so dass für alle

x ∈ [0;1] und  n>k gilt      | f_n(x) - 0 | <  ε.

Sei also  ε>0 .  Es gilt jedenfalls für alle x ∈ [0;1]

     | fn(x) - 0 | = | (x-x^2)^n | ≤ (1/4)^n < (1/3)^n

und damit    (1/3)^n  <  ε   gilt, muss

nur n >   ln( ε) / ln(1/3)  gelten, also ist

k die ertse nat. Zahl, die größer als  ln( ε) / ln(1/3) ist.