ich habe folgende Aufgabe:
Ich soll untersuchen, ob die Funktion für alle x ∈ ℝ differnzierbar ist. Zu dem soll ich die erste Ableitung für alle x ∈ ℝ angeben, an denen die Funktion ƒ differenzierbar ist.
Es geht um folgende Funktion:
$$ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{x^3+x^2}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}\right. $$
Meine Vorgehensweise:
Zu erst habe ich die Obere Teilfunktion umgeformt, so dass aus
$$ \frac{x^3+x^2}{x} = x^2+x $$
wurde und nicht durch 0 teilen muss.
Dann habe ich die Stetigkeit überprüft, in dem ich den kritischen Wert in beide Teilfunktionen eingesetzt und überprüfft habe, ob das Ergebnis das gleich ist.
$$ 0^2+0 = 0 $$ und $$ 0=0 $$
Die Funktion ist somit stetig.
Für die Differenzierbarkeit habe ich jeweils die erste Ableitung gebildet und wieder den kritischen Wert eingesetzt.
$$ f'(x)=\left\{\begin{array}{ll} 2x+1, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}\right. $$
$$ 2*0+1=1 $$ und $$ 0=0$$
Ich komme zu dem Ergebnis, dass sie nicht differenzierbar ist, weil die Ergebnisse der Ableitungen nicht übereinstimmen. Wenn ich mir die Funktion aber in Geogebra anschaue, dann kann ich keinen Knick erkennen (differenzierbar = knickfrei, wenn ich das richtig verstanden habe).
Ist meine Lösung richtig? Hätte ich anders vorgehen müssen? Hätte ich möglicherweise in irgendeinerweise mit Grenzwerten arbeiten müssen?
Ich wäre sehr dankbar, wenn jemand meine Lösung einmal anschauen könnte und im Falle von Fehler bitte Ansätze zur richtigen Lösung geben könnte.
