Zeigen Sie, dass X genau dann kompakt ist, wenn X endlich ist.

Question

Sei X eine nichtleere Menge. Wir definieren eine Metrik d auf X mit

d(x, y) = { 1 falls x ≠ y

              { 0 falls x = y

Zeigen Sie, dass X genau dann kompakt ist, wenn X endlich ist.

Answer 1

Die eine Richtung ist trivial, endliche Mengen sind immer kompakt.

Für die andere Richtung: Sei K eine kompakte Menge. Die Mengen

$$ \{x\} = B_{\frac{1}{2}} (x) $$

(Offene Kugel mit Radius 1/2 um x), sind für alle \( x\in X\) offen. Somit ist

$$ K \subseteq \bigcup_{x\in K}\{x\}$$

eine offene Überdeckung von K. Aufgrund der Kompaktheit besitzt diese eine endliche Teilüberdeckung, also ist K in der Vereinigung endlich vieler Einpunktmengen enthalten und folglich selbst endlich.