Aufgabe:
Folge gegeben:
\( c_{n}=\prod_{k=2}^{n}\left(1-\frac{1}{k^{2}}\right) \)
Grenzertberechnung / Umformungen:
$$ \begin{aligned} c_{n} &= \prod_{k=2}^{n}\left(1-\frac{1}{k^{2}}\right) & \text{Bruch erweitern}\\ &= \prod_{k=2}^{n}\left(\frac{k^{2}-1}{k^{2}}\right) & \text{3. Binomische Formel im Zähler} \\ &= \prod_{k=2}^{n}\left(\frac{(k-1)(k+1)}{k^{2}}\right) & \text{Erste n Folgenglieder aufgeschrieben} \\ &= \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 3} \cdot \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 4} \cdot \dots \frac{(n-1) \cdot(n+1)}{n \cdot n} & \text{Ab hier weiss ich nicht} \\ &= \frac{n+1}{2 n} \underset{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} \frac{1}{2}& \text{Wie kommt er auf (n+1)/2n ?} \\ \end{aligned} $$
Fragen:
(1) Kann mir jemand die letzten zwei Schritte erklären und wie man Folgen dieser Art (Produkt) berechnet ?
(2) Wieso er die ersten n Folgenglieder aufschreibt und nicht ohne Folgenglieder aufzuschreiben den Limes berechnet?
(3) Sagen, wie Folgen dieser Art heissen (Produktfolgen ?) damit ich mehr über sie lernen kann?
