Analysis. Tangente mit Gleichung f(x) = -2x + b

Question

Aufgabe:

Für jeden Wert von a 8 (a ∈ℝ, a ≠ 0) ist eine Funktion f_a  gegeben durch f_a (x) = a *e^-x² (x  ∈ℝ). Bestimmen Sie a und b so, dass die Tagente an dem Graphen von f_a im Punkt P(1|f_a (1)) durch die Gleichung f(x) = -2x +b beschrieben werden kann.

Answer 1

Funktion
f ( x ) = a * e hoch (- x^2 )
Tangente
t ( x ) = -2 * x + b

Die Steigung der Funktion muß an der Stelle
x = 1 der Tangentensteigung entsprechen

f ´( x ) = a * e hoch (- x^2 ) * (-2x )
f ´( 1 ) = a * e hoch (- 1^2 ) * (-2*1 ) = -2

a * e hoch (-1^2 ) = 1
a = 1 / e hoch (-1)
a = e

f ( x ) = e * e hoch (- x^2 )
f ( x ) = e hoch (- x^2 + 1)
Der Funktionswert von Funktion und Tangente
muß bei x = 1 auch gleich sein
f ( 1 ) = t ( 1 )
e hoch (- 1^2 + 1) = -2 * 1 + b
b = e ^0 + 2
b = 3
t ( x ) = -2*x + 3

Answer 2

Der Punkt P ist P(1|f_a (1))=(1|a/e)

Die erste Ableitung von f_a an der Stelle 1 soll -2 sein.

f '_a(x)=a·e-x^2·(-2x)

f '_a(1)=a/e·(-2) = -2

a=e

Dann ist P(1|1) und die Punkl-Steigungsform der Geradentengleichung ist (y-1)/(x-1)=-2.

Nach y aufgegelöst:  y=-2x+3   also b=3