Welche der folgenden Mengen sind Untervektorräume? (i) U1 = {(x, y, z) ∈ R^3 | x = y = 7z}

Question

Aufgabe:

Welche der folgenden Mengen sind Untervektorräume?
(i) U1 = {(x, y, z) ∈ R^3| x = y = 7z}
(ii) U2 = {(x, y, z) ∈ R^3| 24x − 9y = 881z}

Problem/Ansatz:

Wie kann ich das hier lösen?

Answer 1

Hallo

 1. immer, wenn man eine lineare Beziehung zwischen den Koordinaten hat, hat man einen UR, der eine Dimension weniger hat als V.

zu zeigen 1. 0 Vektor in U

2. mit x und y in U ist auch x+y in U und mit xx ist auch a*x in U.

1. hat 2 lineare Beziehungen, x=y und x=7z also dim 2 niedriger, alle Vektoren haben die form r*(7,7,1)

2. eine lineare Gl also 2dim

zB, z=0 x=3 y=8 also liegt der Vektor r*(3,8,0) in U

2. z.B x=0 y=881 z=-9 also liegt der Vektor s*(0,881,-9) in U und natürlich alle Linearkombinationen.

 du kannst aber auch einfach einen Vektor nehmen mit a multiplizieren, und sehen, dass die Gleichung wieder gilt (sie wird einfach mit a multipliziert, oder 2 addieren  das ist dasselbe wie 2 Gleichungen mal mit xi mal mit yi hingeschrieben addiert.

Gruß lul