Beweis für 1/sqrt(n)*||x||1 ≤ ||x||2 ≤ ||x||1 mit ||x||p = p-Norm

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie für alle x∈ℝⁿ:

\( \frac{1}{\sqrt{n}} \) ||x||₁≤ ||x||₂ ≤ ||x||₁

Dabei sind auf ℝⁿ die p-Normen definiert als (mit 1 ≤ p < ∞):

||x||_p = (\( \sum\limits_{i=1}^{n}{|x_i|^p} \) )^ ^{(\( \frac{1}{p} \))}

und es gilt: ||x||_∞ = max |x_i| mit 1 ≤ i ≤ n.

Hinweis: Verwenden Sie die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung.

Problem/Ansatz:

Ich habe angesetzt, die Ungleichung in 2 verschiedene Ungleichungen aufzuteilen, wobei ich den zweiten Teil (||x||₂ ≤ ||x||₁) bereits bewiesen habe. Hierfür habe ich mit ||x||₂² ≤ ||x||₁² begonnen, was sich mit der Definition der p-Normen umschreiben lässt zu (\( \sum\limits_{i=1}^{n}{|x_i|^2} \) ) ≤ (\( \sum\limits_{i=1}^{n}{|x_i|} \))². Auf der rechten Seite steht jetzt eine ausgedehnte Binomische Formel, was positive Mischterme bedeutet, die in der linken Summe nicht enthalten sind. (Stimmt das so?)

Mein Problem liegt beim Beweisen von \( \frac{1}{\sqrt{n}} \) ||x||₁ ≤ ||x||₂. Da ich Cauchy-Schwarz noch nicht benutzt habe, vermute ich mal, dass das hier Eingebracht werden muss. Ich habe nur leider überhaupt keinen Ansatz dafür.

Answer 1

Hallo

 quadriere wieder, sammle die gemischten Glieder in einer zweiten Summe und benutze die angegebene Ungleichung.

Gruß lul