Vielfachheiten Nullstellen in F4

Question

Aufgabe:

Berechne alle Nullstellen und deren Vielfachheiten von

(X⁴-X)² Element von F4[X]

(mit F4 meine ich den endlichen Körper mit 4 Elementen)

Problem/Ansatz:

Die Nullstellen habe ich berechnet und bin auf 0 und 1 gekommen.

Für die Vielfachheiten muss man ja die Exponenten x und y bestimmen, für die gilt: X^x+(X-1)^y=(X⁴-X)².

Leider komme ich ab diesem Punkt nicht mehr weiter, denn sämtliche Versuche haben nicht das richtige Ergebnis ergeben. Vielleicht kann mir jemand helfen.

:)

Comments

Für jedes Körperelement x∈F₄ gilt x⁴=x.

Answer 1

Wie in dem Kommenra bereits gesagt wurde, ist jedes Element von

$F_4$ eine Nullstell von $X^4-X$. Damit haben wir die Zerlegung

$X^4-X=\prod_{z\in F_4}(X-z)$, also

$(X^4-X)^2=\prod_{z\in F_4}(X-z)^2$.

Jedes Körperelement ist alls eine doppelte Nullstelle des Polynoms.