Jede Permutation lässt sich eindeutig als Verkettung von paarweise disjunkten Zyklen darstellen. Aber Wie?

Question

Ich habe also eine Permutation

\(   \left(\begin{matrix}     1 & 2 & 3 & 4 \\     3 & 1 & 4 & 2   \end{matrix}\right) \)

Da gibt es offensichtlich dich nur einen Zyklus? und zwar 

(1,3,4,2)

und Verschiebungen davon. Woher kommen jetzt die paarweise disjunkten Zyklen, die es laut Buch geben soll? Ich kann natürlich schreiben:

(1,3)(2,1)(3,4)(4,2)

Aber daran ist ja nichts disjunkt.

Answer 1

Da gibt es offensichtlich dich nur einen Zyklus?

Ja. Und dieser eine Zyklus bildet dann auch deine Darstellung. Für manche Permutationen (nämlich gerade bei Zyklen) bekommst du halt nur einen Zyklus raus. Und in diesem Fall "fällt" die "paarweise disjunkt" Aussage einfach "weg", du kannst ja überhaupt gar kein Paar von Zyklen auswählen. (Formal gesehen ist die Menge der Paare von Zyklen leer, und du betrachtest eine Allaussage über dieser Menge. Leere Allaussagen sind immer wahr)

Betrachte z.B. mal

$$\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\\2&3&1&4&6&5\end{pmatrix}$$

Welchen Zyklen findest du? Sind diese p.w. dusjunkt?

Comments

(1,2,3)(5,6)

Vielleicht häng ich mich ja wirklich an der Definition auf. Ist halt verwirrend wenn nach Definition alle Permutationen als Verkettung dargestellt werden können.

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Das ist halt einfach so eine Koventionssache. Z.B. bei der Primfaktorzerlegung: "Jede natürliche Zahl lässt sich als Produkt von Primzahlen darstellen" ist das so: Bei Primzahlen hat das Produkt nur einen Faktor: die Primzahl selbst. Bei der 1 hat das Produkt sogar gar keinen Faktor. Sichwort: leeres Produkt.

Und hier ist das ganz ähnlich: Wenn du schon einen Zyklus (vgl. Primzahl) vorliegen hast, besteht die Verkettung nur aus einem "Faktor". Bei der Identität (vgl. 1) aus gar keinem "Faktor" (außer du lässt einelementige Zyklen zu, d.h. (1) oder (4) etc. - das ist aber wohl Geschmackssache!)