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Aufgabe:

Sei a eine positive reelle Zahl. Zeigen Sie mit Induktion, dass für jedes m ∈ N \ {0} Folgendes gilt:

\( \sqrt[2m]{a} \) <= 1 + \( \frac{1}{2^{m - 1}} \) * (\( \sqrt{a} \) - 1)  


Problem/Ansatz:

Den Induktions Anfang für m = 1 ist recht einfach, aber wie kann man es für alle m beweisen ? Ich habe versucht es mit m -> m + 1 zu zeigen, aber mit der 2*(m+1)-te Wurzel von a kann ich nicht weiter berechnen. Soll ich etwas einsetzen, wie z.B. x := \( \sqrt{a} \) ? Bis jetzt habe ich die IA geschafft und beim Induktionsschritt komme ich nicht weiter:

\( \sqrt[2(m + 1)]{a} \) <= 1 + \( \frac{1}{2^m} \)  * (\( \sqrt{a} \) - 1)

von

Allgemeine Vorgehensweise :
Wenn man keinen Beweis schafft, versuche man, ein Gegenbeispiel zu finden.

Also so ganz spontan würd ich sagen, dass a = 4 ist, da bei m = 1

 \( \frac{\sqrt{a} }{2} \)  = \( \sqrt{a} \)  -1 rauskommt und bei m + 1 einsetzen 

\( \sqrt[2*(m+1)]{4} \)  = 1 + \( \frac{1}{2^m} \)  * ( \( \sqrt{4} \)  -1)

= \( \sqrt[2*(m+1)]{4} \) = 1 + \( \frac{1}{2^m} \)

= \( \sqrt[2*(m+1)]{4} \) = \( \sum\limits_{n=0}^{m}{\frac{1}{2^n}} \) - \( \sum\limits_{n=1}^{m-1}{\frac{1}{2^n}} \)

= \( \sum\limits_{n=1}^{2*(m+1)}{\sqrt[n]{4}} \) - \( \sum\limits_{n=1}^{2m}{\sqrt[n]{4}} \) =  \( \sum\limits_{n=0}^{m}{\frac{1}{2^n}} \) - \( \sum\limits_{n=1}^{m-1}{\frac{1}{2^n}} \)

Ob das stimmt kann ich dir nicht versichern, aber das ist meine spontane Antwort.

Oke im Nachhinein fällt mir auf wie viel Unsinn ich hier geschrieben habe, das stimmt natürlich nicht schon der erste Satz ist Quatsch

1 Antwort

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Die Aussage stimmt nicht. Nehme \( a = 16 \) und \( m = 4 \) dann folgt

$$  \sqrt[2m]{a} = \sqrt{2} $$ und $$ 1+ \frac{1}{2^{m-1}} ( \sqrt{a} - 1) = \frac{11}{8} $$ aber $$ \sqrt{2} > \frac{11}{8} $$

von 24 k

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