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Guten Tag. Mein Problem ist, dass ich mir nicht sicher bin, ob ich folgende Vollständige Induktion richtig gelöst habe oder nicht:

n * √n > n + √n für alle n >= 4

Ich habe bisher folgenden Lösungsansatz :

Induktionsanfang : 4 * √4 > 4 + √4 =>  8 > 6 (wahre Aussage)

Induktionsbedingung : (n + 1) * √(n + 1) > n + 1 + √(n+1)

V -> B:

√(n^3 + 3n^2 + 3n + 1) > √((n + n^2) + 3n^2 + 3n + 1) = √(4n^2 + 4n + 1) = 2n + 1 = n + n + 1 > n + n > n + √n

von

Die Verankerung ist schon mal richtig.

Ist die Methode "vollständige Induktion" vorgeschrieben?

Hi,

beim Induktionsanfang muss ein Äquivalenzpfeil stehen (anstatt des Folgepfeils), sonst ist der Anfang nicht gemacht.

Beim Induktionsschritt hast du bisher nur gezeigt, dass \( (n+1)\sqrt{n+1} > n + \sqrt{n} \), was ja klar ist, da \((n+1)\sqrt{n+1} > n\sqrt{n} \) gilt.

Zu zeigen ist aber (wie du richtig zu Beginn deines Schrittes formuliert hast): \( (n+1) \sqrt{n+1} > n+1+\sqrt{n+1}\).

Tipp: \( (n+1)\sqrt{n+1} = n\sqrt{n+1} + \sqrt{n+1}\)

Dabei wirst du aber vermutlich sehen, dass du deine Induktionsvoraussetzung nicht (unbedingt) brauchst (siehe Lu's Kommentar)

Gruß,

Yakyu

Ja, es soll eine vollständige Induktion sein.

√(n^3 + 3n^2 + 3n + 1) > √(n^2 + 1 + n + 1 + 3n^2 + 3n + 1) = √(4n^2 + 4n + 3) > √(4n^2 + 4n + 1) = 2n + 1 = n + n + 1 > n + n > n + √n

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Hallo

 es wird noch viel einfacher, wenn du die Ungleichung durch√n dividierst-

Gruß lul

von 27 k

IV : n > √n + 1

IA : 4 > √4 + 1 <=> 4 > 3

IB : n + 1 > √(n+1) + 1

IS : n + 1 > √n + 2 > √(n+1) + 1

Ist es so korrekt ?

Hallo

Korrekt,  aber du musst  erstens mit der Umformung anfangen, dann sagen , wo du die IndV  einsetzt.

und schließlich in einem Schritt zeigen √(n+1)<√n +1

(z.B durch quadrieren)

Gruß lul

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