Realteil und Imaginärteil von komplexer zahl: z= (-1024-1024i) / (16-16√3 i)

Question

ich suche den Realteil und den Imaginärteil, von

z= (-1024-1024i) / (16-16√3 i)

Kann ich einfach sagen
Re(z)= -1024 / 16 und
Im(z)= -1024 / -16√3

oder ist das komplizierter?

Answer 1

Nein du musst den Nenner rell machen.

Das erreicht man in kartesischen Koordinaten, indem man mit der konjugiertkomplexen Zahl des Nenners erweitert.

z= ((-1024-1024i)(16 + 16√3 i)) / ((16-16√3 i)(16+16√3 i))

https://www.wolframalpha.com/input/?i=real+part+of+%28+%28-1024-1024i%29+%2F+%2816-16√3+i%29+%29

Kürze aber deine Zahl erst noch:

z= (-1024-1024i) / (16-16√3 i)

= 1024(-1-i)/(16(1 - √3 i))

= 64 (-1-i)/(1-√3 i)

Nun kannst du 64 erst mal vor den Bruch schreiben und den Bruch mit dem obigen Trick so umformen, dass du einen reellen Nenner bekommst.

Alternative, falls du Betrag und Argument von Zähler und Nenner kennst:

z = r_z (cos A + i sin A) / ( r_N (cos B + i sin B)) = r_z/r_N (cos (A-B) + i sin(A-B)) 

= r_z/r_N cos (A-B) + i  r_z/r_N sin(A-B)) 

Comments

du schreibst = 64 (-1-i)/(1+√3)

ist es nicht = 64 (-1-i) / (1-√3 i) ?

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Gut, wenn du aufpasst und das korrigierst.

Answer 2

Es ist komplizierter :-)

Du darfst nicht einfach irgendwelche Zahlen aus Zähler und Nenner herausnehmen ("Aus Summen kürzen nur die D ...." - naja, ich will nichts Beleidigendes schreiben :-) )

Du darfst aber ausklammern, hier etwa den Faktor ( - 1024 / 16 ):

( - 1024 - 1024 i ) / ( 16 - 16 √ 3 i)
= ( - 1024 / 16 ) *  ( 1 + i ) /  ( 1 - i √ 3 )
= ( -  64 ) * ( 1 + i ) /  ( 1 - i √ 3 )

Nun den Bruch mit der konjugiert Komplexen des Nenner ( 1 + i √ 3 ) erweitern. Dadurch wird der Nenner reell ( 3. binomische Formel anwenden und  i ² = - 1 ):

= ( - 64  ) * ( 1 + i ) * ( 1 + i √ 3 ) /  ( ( 1 - i √ 3 ) * ( 1 + i √ 3 ) )
= ( - 64  ) * ( 1 + i ) * ( 1 + i √ 3 ) /  4
= ( - 64 ) / 4 * ( 1 + i ) * ( 1 + i √ 3 )
= ( - 16 ) * ( 1 + i ) * ( 1 + i √ 3 )

Nun die beiden letzten Faktoren ausmultiplizieren:

= ( - 16 ) * ( 1 + i √ 3 + i - √3 )

Real- und Imaginärteil zusammenfassen:

= ( - 16 ) * ( ( 1 - √ 3 ) + i ( 1 + √ 3 ) )

und mit - 16 multiplizieren:

= ( 16 * √ 3 - 16  ) + i * ( - 16 - 16 √ 3 )

Also:

Re ( z ) = ( 16 * √ 3 - 16  )

Im ( z ) =  ( - 16 - 16 √ 3 )