Beweis, dass H bereits eine Untergruppe von G ist. Untergruppenkriterium

Question

Hallo Alle,

Die Aufgabe lautet: Sei G eine Gruppe und H eine nichtleere endliche Teilmenge von G,so dass für alle g,h ∈ H auch gh ∈ H ist. Zu zeigen ist dass H bereits eine Untergruppe von G ist.

Nachdem muss auch bewiesen werden, dass die obige Aussage für den Fall einer unendlichen nichtleere H ⊆ G gilt.

Ich danke euch im Voraus.

LG

Yas

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Untergruppe, wenn ∀a,b∈U: a·b∈U.

Stichworte: gruppe,untergruppe,neutrales-element,inverses-element

Aufgabe:

Sei (G,·) eine Gruppe und U⊆G eine nicht-leere, endliche Teilmenge mit ∀a,b∈U: a·b∈U. Zeigen Sie, dass U eine Untergruppe von (G,·) ist.

Problem/Ansatz:

Zu Untergruppen haben wir aufgeschrieben:
Sei (G,·)eine Gruppe. Dann heißt U⊆G Untergruppe von G, falls (U,·) eine Gruppe ist, d. h. wenn
(U1)e∈U, (U2)∀a,b∈U: a·b∈U, (U3)∀a∈U: a^-1∈U.

Also muss ich jetzt ja zeigen, dass es ein neutrales Element gibt und dann ein inverses nachweisen, oder sehe ich das falsch?

Und wenn die Idee richtig ist, wie gehe ich da vor?

Answer 1

Hallo

 wenn G nicht endlich ist ist die Aussage falsch, weil es Gegenbeispiele gibt. Wenn G endlich ist braust du , dass mit a alle Potenzen von a in U liegen, damit kommst du auf e und a^-1

Gruß lul