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Aufgabe:

f(x) = ax + b  | b=0

f(x) = ax

Nun steht, dass f(x)=ax folgende zwei Eigenschaften besitzt, aber es wird nicht gezeigt und ich selbst sehe es auf Anhieb nicht. Deswegen frage ich hier:

Es hat die Eigenschaften (einer Linearen Abbildung):

f(x+x') = f(x) + f(x') und
f(α*x) = α*f(x) 


Frage:

Kenn das jemand kurz zeigen ?

Edit:

Ich kann es mit a=1 und einigen Zahlenbeispielen zeigen. Aber unsicher ob es immer und egal wie das a gewählt wird funktioniert.

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3 Antworten

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Hallo

 du musst doch nur einsetzen?

f(x+x')=a(x+x')=ax+ax' =f(x)+f(x')

f(r*x)=a*(r*x)=r*a*x=r*f(x)

Gruß lul

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f(x) = ax

Nun steht, dass f(x)=ax folgende zwei Eigenschaften besitzt, aber es wird nicht gezeigt und ich selbst sehe es auf Anhieb nicht. Deswegen frage ich hier:

Es hat die Eigenschaften (einer Linearen Abbildung):

f(x+x') = f(x) + f(x') und
f(α*x) = α*f(x) 

Einsetzen und Distributivgesetz (oder ander Gesetze für reelle Zahlen (?))  benutzen

f(x+x') = a(x+x') = ax + ax' = f(x) + f(x')

f(α*x) = α*f(x)  analog! 

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f(α*x) = α*f(x)  analog! 

 
f(a*x) = a*f(x)  | f(x) = x
         = a*x
         = a*f(x).

Richtig?

Achtung: Unterscheide alpha und a. Es müssen beide vorkommen in der Rechnung.

a ist ein Parameter (gegeben), alpha ein (beliebiger) linearer Faktor.

lul hat für alpha r benutzt.

Hallo

 wie du es geschrieben hast ist es falsch, denn f(x)=x ist zwar auch eine lineare Funktion, due sollst es aber für f(x)=a*x beweisen. auch wenn a nicht =1 ist.

weil man oft  α und a kaum unterscheiden kann, hab ich statt α r gewählt

Gruß lul

wie du es geschrieben hast ist es falsch,

Das war auch die Idee von meinem Kommentar. Gut, dass du das explizit geschrieben hast, falls das oben unklar blieb.

Okay vielen Dank, ich abreite heute an der Linalg weiter und werde mir das anschauen.

+1 Daumen

in der linearen Algebra spricht man von linearen Abbildungen f wenn gilt:

f(αx +βy)=αf(x)+βf(y) für Vektoren x,y aus dem dazugehörigen Vektorraum V und α,β aus dem dazugehörigen Körper K

Das einfachste Beispiel sind lineare Funktionen

f: R->R, x->ax

Hier ist V=K=R

Dann gilt

f(αx +βy)=a*(αx +βy)=

α*(ax)+β(ay)=α*f(x)+β*f(y)

gemäß Distributiv und Kommutativgesetz.

Alsonist das eine lineare Abbildung.

Du kannst dir nun auch überlegen,

weshalb f(x)=ax+b zwar auch als lineare Funktion bezeichnet wird, aber trotzdem keine lineare Abbildung ist.

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