Gegeben ist die Gerade gm mit der Gleichung gm(x) = mx, x∈ℝ, wobei m∈ℝ gilt.
Beweisen Sie: Genau für m > -1 schneidet die Gerade gm den Graphen der Funktion h mit der Gleichung h(x) = 1/9 * x^3 - x, x∈ℝ, in drei Punkten.
Ich habe das wie folgt bewiesen und wollte fragen, ob das mal jemand überprüfen kann.
Gleichsetzen von h und gm
$$ \frac{1}{9}x^{3} - x = mx $$
$$ \frac{1}{9}x^{3} - x - mx = 0 $$
$$ x * (\frac{1}{9}x^{2} - 1 - m) = 0 $$
$$ x_1 = 0 $$
$$ \frac{1}{9}x^{2} - 1 - m = 0 $$
$$ \frac{1}{9}x^{2} = 1 + m $$
$$ x^{2} = 9 + 9m $$
$$ x_{2,3} = ± \sqrt{9 + 9m} $$
Da der Ausdruck \( \sqrt{9 + 9m} \) für m > -1 eine relle Lösung ≠ 0 hat, schneiden sich die beiden Graphen für m > -1 in drei Punkten.
