Trifft an irgendeiner Stelle dieser Ungleichungskette das Gleichheitszeichen zu, so ist a=b

Question

Aufgabe:

Es seien \( a, b \in \mathbb{R} \) mit \( 0<a \leq b \). Zeigen Sie:

\( a^{2} \leq\left(\frac{2 a b}{a+b}\right)^{2} \leq a b \leq\left(\frac{a+b}{2}\right)^{2} \leq b^{2} \)

Trifft an irgendeiner Stelle dieser Ungleichungskette das Gleichheitszeichen zu, so ist \( a=b \).

Ich kann diese Ungleichung nicht auf formellem Wege lösöen, also ich weiß wenn man zahlen einsetzt, dass es stimmt.

Answer 1

ich würde so starten: da a≤b stimmt die ungleichung auch wenn man beide seiten mit a oder mit b multipliziert.

Also ist a²≤ab

und und ab≤ b²

vielleicht hilft das etwas weiter?

Liebe Grüße

Comments

den schritt verstehe ich :) aber wie z.B komm ich auf die anderen?

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weil du schreibst a²< ab

und b²>ab

aber links von ab steht   ( a + b / 2 )²

wie komm ich dahin^^