Konvergenz und Grenzwert Σ (3^{k+2}-2)/(6^k)

Question

Ein Grenzwert bedeutet ja du setzt eine Zahl ein und es kommt fast die selbe Zahl heraus. Aber wie fange ich an?

$$ \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { 3 ^ { k + 2 } - 2 } { 6 ^ { k } } $$

Answer 1

Grenzwert ∑ (k=0 bis ∞) ((3^{k+2} - 2) / 6^k)

Wir vereinfachen mal den Term in der Summe:

(3^{k+2} - 2)/6^k
(9·3^k - 2)/6^k
9·3^k/6^k - 2/6^k
9·(1/2)^k - 2·(1/6)^k

Jetzt bilden wir den Grenzwert der Summe:

∑ (k=0 bis ∞) (9·(1/2)^k - 2·(1/6)^k)

∑ (k=0 bis ∞) (9·(1/2)^k) - ∑ (k=0 bis ∞) (2·(1/6)^k)
9·∑ (k=0 bis ∞) ((1/2)^k) - 2·∑ (k=0 bis ∞) ((1/6)^k)

9·2 - 2·6/5 = 18 - 12/5 = 78/5 = 15.6

Ich verwende den Grenzwert der Geometrischen Reihe:

∑ (k=0 bis n) (q^k) = (1 - q^{n+1}) / (1 - q) für q ≠ 0

∑ (k=0 bis ∞) (q^k) = 1 / (1 - q) für q < 1

∑ (k=0 bis ∞) ((1/n)^k) = n / (n - 1) für n > 1