Matrix regulär, dann auch inverse regulär, Beweis

Question

Aufgabe:

Sei A regulär, Zeigen sie dann gilt:

a.) A^-1  ist regulär und (A^-1)^-1 = A

b.) λA mit λ ungleich 0 ist regulär und (λA^-1) = 1/λ A^-1

Problem/Ansatz:

a.) Eine Matrix heißt regulär, wenn sie den vollen Rang hat, sonst singulär.

Ich weiß, dass das eine Eigentschaft von regulären Matrizen ist, finde nur nirgends einen Beweis dazu.

Was wenn ich Standardbasen nehmen würde. Daraus kann man ja mit Zeilenumformungen jede beliebige Matrix bilden.

$$A= \begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{pmatrix} ,  a,b,c \in \mathbb R $$

$$A^{-1} =  \begin{pmatrix} \frac{1}{a} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{b} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{c} \end{pmatrix}  $$

Inverse ist wiede Regulär (alle Zeilen, bzw. Spalten sind linear unabhängig).

Reicht das ?

b.) Hät ich dann gleich gezeigt, das ich halt λ noch reinmultiplizier, aber das ändert ja nix, da ich mit a,b,c ∈ℝ schon diesen Fall ebenfalls abgedeckt habe.

Comments

Reicht das ?

Finde zu jeder Schlussfolgerung, die du getroffen hast, einen Satz oder Lemma in deinen Unterlagen, der dir erlaubt, diese Schlussfolgerung zu treffen. Wenn du das kannst, dann reicht das. Wenn du das nicht kannst, dann reicht das nicht.

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Studierst du auch in Klagi? Lineare Algebra? :D Ich habe nämlich bis morgen die gleiche Aufgabe, im gleichen Wortlaut verfasst :D

Answer 1

A regulär, Zeigen sie dann gilt:
A^(-1)  ist regulär und (A^-1)^-1 = A

Das erste folgt aus dem zweiten; denn

A  regulär heißt ja auch : Es gibt eine inverse A^(-1)

mit der Eigenschaft A * A^(-1) = E und  A^(-1) *A = E #

und  (A^-1)^-1 = A heißt dann ja:

A^(-1) besitzt eine Inverse, und diese Inverse ist A.

Das bedeutet: Wenn man A^(-1) mit A multipliziert

und wenn A mit  A^(-1)  ergibt das jeweils das E.

Das ist die gleiche Bedingung wie #, folgt also

aus: A ist regulär.

Und weil A^(-1) also eine Inverse hat, ist A^(-1) auch regulär.

b) kann du ebenso über die Def. der inversen beweisen.