Vorwort: Man möge mir die Verwendung der Brüche in der ersten Zeile verzeihen und sich die Bruchstriche wegdenken. Ich habe keine Möglichkeit gefunden, die Binomialkoeffizienten in gewohnter Weise darzustellen.
$$\left( \frac { n+1 }{ k } \right) =\left( \frac { n }{ k } \right) +\left( \frac { n }{ k-1 } \right)$$
Ausschreiben gemäß der Definition des Binomialkoeffizienten:
$$<=>\frac { (n+1)! }{ (n+1-k)!k! } =\frac { n! }{ k!(n-k)! } +\frac { n! }{ (n+1-k)!(k-1)! }$$
Nenner des ersten und des letzten Bruches gleichnamig machen, dazu den letzten Bruch mit k erweitern:
$$<=>\frac { (n+1)! }{ (n+1-k)!k! } =\frac { n! }{ k!(n-k)! } +\frac { n!k }{ (n+1-k)!k! }$$
Subtrahieren des letzten Bruches auf beiden Seiten:
$$<=>\frac { (n+1)!-n!k }{ (n+1-k)!k! } =\frac { n! }{ k!(n-k)! }$$
Es gilt: \((n+1-k)!=(n-k+1)!=(n-k)!(n-k+1)\) , dies auf den Nenner des linken Bruches anwenden:
$$<=>\frac { (n+1)!-n!k }{ (n-k)!(n-k+1)k! } =\frac { n! }{ k!(n-k)! }$$
Beide Seiten mit (n-k+1) multiplizieren:
$$<=>\frac { (n+1)!-n!k }{ (n-k)!k! } =\frac { n!(n-k+1) }{ k!(n-k)! }$$
Da nun die Nenner gleich sind, sind die Brüche genau dann gleich, wenn ihre Zähler gleich sind:
$$<=>(n+1)!-n!k=n!(n-k+1)$$
Es gilt: \(n!(n-k+1)=n!(n+1-k)=(n+1)!-n!k\) , dies auf die rechte Seite anwenden:
$$<=>(n+1)!-n!k=(n+1)!-n!k$$
$$<=>0=0$$
q.e.d.
