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Aufgabe:

$$\textrm{Für } n \in \mathbb{N} \textrm{ sei die Abbildung } f_n \textrm{ durch } f_{n} : \mathbb{R}[x]_{\leq n} \rightarrow \mathbb{R}[x]_{\leq n} \textrm{ vermöge } p \mapsto (p \cdot x)' \textrm{ definiert, wobei } q' \textrm{ die Ableitung eines Polynoms } q \in \mathbb{R}[x]_{\leq n} \textrm{ ist. }$$ $$\textrm{ a) Zeigen Sie, dass } f_n \textrm{ ein Vektorraumhomomorphismus ist!}$$ $$\text{ b) Notieren Sie die zu verwendenden Basen A,B sowie die Matrizen } M^A_B (f_n)\text{ für } n \in \mathbb{N}\text{!}$$


Problem/Ansatz:

a) Die Abbildung f_n ist ja eigentlich nichts anderes als $$f_n(p) = (p \cdot x)' , p \in \mathbb{R}[x]_{\leq n}$$ oder? Sonst weiß ich wie die Aufgabe zu lösen ist.

b) Die Basis A eines Polynom höchstens n-ten Grades ist ja $$A = \{1, x, x^2, ..., x^n\} \text{ . }$$ Also haben ja in dem Sinne sowohl Definitionsmenge und Wertemenge die selben Basen. Ist dann die Transformationsmatrix einfach die Einheitsmatrix oder wie?

von

1 Antwort

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Hallo

Du kannst wohl die Basis im Bild und Urbild gleich wählen, aber dann fehlt immer noch die Matrix der Abbildung hier mit ( fn) bezeichnet. Dazu brauchst du die Bilder der Basisvektoren.

Gruß lul

von 26 k

Das Bild der Basis x^n ist ja (n+1)*x^n. Ist das dann wiederum die Basis des Bildes von fn?

Wie stelle ich dann diese Basen als Matrix da um den Gauss Jordan Algorithmus zu nutzen? Wenn das nicht geht wie dann weiter?

Wäre z.b. für n=3 die Matrix dann

$$\left( \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & x & 0 & 0 \\ 0 & 0 & x^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & x^3 \\ \end{array}\right) $$? 

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