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Folgende Funktion soll nach 1. und 2. Ordnung abgeleitet werden. Außerdem soll überprüft werden, dass die gemischten Ableitungen gleich sind.

$$ f(x,y,z) = \frac{z·x^2}{y} $$

Bin etwas verwirrt, weil ich nicht weiß wie man hier die Qutientenregel einsetzt.

von

Man kan 1/y auch als y-1 .

Würde es gerne mit der Quotientenregel lösen, aber bin mir nicht sicher ob ich sie richtig angewendet habe

also hab sie jetzt nach x aufeglöst: df/dx= ((z*2x)y - 0 * y(z*x^2)) / y^2
Die Kettenregel muss man auch noch verwenden.

1 Antwort

0 Daumen

Bilden wir erstmal die partiellen ersten Ableitungen. Hierbei wird nur die eine ausgesuchte Variable differenziert. Die restlichen Variablen sieht man als Konstanten an:

df/dx = 2*x*z/y = f              (1)

df/dy = -x2*z/y= fy               (2)

df/dz = x2/y = fz                    (3)

Wenn man die rechte Seite der Gleichung (1) nach y weiter ableitet, bekommt man:

d2f/(dx*dy) = -2*x*z/y2 = fxy

Wenn man die rechte Seite der Gleichung (2) nach x weiter ableitet, bekommt man:

d2f/(dy*dx) = -2*x*z/y2 = fyx

Man sieht dass diese gemischten, partiellen 2. Ableitungen gleich sind: fxy = fyx

Nun weiter mit fzx und fxz, ob dies den selben Ausdruck liefert:

fzx = 2*x/y und fxz = 2*x/y -> Ausdrücke sind identisch

Zum Schluss Identität von fyz und fzy prüfen:

fyz = -x2/y2 und fzy = -x2/y2 -> Ausdrücke sind auch hier indentisch.

Wenn ich alle gemischten patiellen 2. Ableitungen gefunden haben sollte, sind die so ermittelten Ableitungen alle gleich.

 

von 5,4 k

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