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Aufgabe:

Zeige, dass das Volumen eines Kegels allgemein mit folgender Formel zu berechnen ist:

\( V = \frac{1}{3}·π·r^3 · \sqrt{\frac{360°^2}{α^2}-1} \)

Wie löst man diese Aufgabe?

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Die rechte gescheifte Klammer hat keinen
Gegenpart.
alpha ist der Steigungswinkel ?

Die rechte gescheifte Klammer hat keinen Gegenpart.
Lesen !  C. schrieb :  " √ = Wurzelanfang; } = Ende der Wurzel "

alpha ist der Steigungswinkel ?
Es ist derjenige Winkel, für den die Gleichung stimmt.

√ = Wurzelanfang; } = Ende der Wurzel

Es gibt in der mathematischen Notation ein Mittel um auszudrücken "Muss ausgerechnet werden bevor das daneben ausgerechnet wird". Dieses Mittel sind Klammern:

        V= 1/3*π*r³√((360°)²/α²-1).

Du brauchst also keine eigene Notation zu erfinden. Die sind auch bei Brüchen praktisch:

         \(\frac{1}{3+1}\) = 1/(3+1) ≠ 1/3 + 1 = \(\frac{1}{3}+1\).

Die Formel gilt, falls h=r·\( \sqrt{\frac{360^2}{α^2}-1} \). Aber wieso sollte das gelten?

Aber wieso sollte das gelten?

Hast du denn noch nie vom Satz des Pythagoras gehört ?

1 Antwort

+2 Daumen

Die Frage hier ist doch: "Was ist \(\alpha\)?"

Wenn man von einem Kegel die Mantelfläche zu einem ebenen Kreissektor abrollt ..

Untitled4.png

.. so wie hier auf dem Bild vom grünen Kegel die blaue Fläche abgerollt wurde, so ist \(\alpha\) der Mittelpunktswinkel des blauen Kreissektors.

Sei \(s\) die Mantellinie des Kegels, dann ist die Länge \(L\) des Kreisbogens des Kreissektors$$L = 2\pi s \frac{\alpha}{360°}$$Und \(L\) ist gleichzeitig der Umfang der Grundfläche des Kegels mit Radius \(r\)- also:$$L = 2\pi s \frac{\alpha}{360°} = 2\pi r \implies s = \frac {360°}{\alpha} r$$Nach Pythagoras ist$$h^2 = s^2 - r^2$$und somit wird aus$$V = \frac 13 \pi r^2 h = \frac 13 \pi r^2 \sqrt{s^2 - r^2} = \frac 13 \pi r^2 \sqrt{\frac{360°^2}{\alpha ^2}r^2 - r^2} =  \frac 13 \pi r^3 \sqrt{\frac{360°^2}{\alpha ^2} - 1} $$

Avatar von 48 k

Hallo Werner,
schon interessant.
Tenor der Aufgabe :
Warum einfach wenns auch kompliziert geht.
Bei dir steht hinten r1, es muß glaube ich 1 heißen
mfg Georg

Bei dir steht hinten r1, es muß glaube ich 1 heißen

Ja natürlich. Danke für den Hinweis; habe ich korrigiert.


Tenor der Aufgabe :
Warum einfach wenns auch kompliziert geht.

Wie meinst Du das? Kennst Du eine einfacheren Weg die Richtigkeit der Formel zu zeigen? Dann nur her damit .... ;-)

Tenor der Aufgabe :
Warum einfach wenns auch kompliziert geht.
Ich meinte die Aufgabenstellung.

Als alpha habe ich den Winkel der
Seitenlinie vermutet.
Deine Lösung ist tiptop.

Ratschlag des Tages :
Wenn du es eilig hast dann gehe langsam.

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