Zeige, dass v1 = (3,-5) und v2 = (-4,6) ein Span in R^2 bilden

Question

Aufgabe:

Zeige, dass v1 = (2,5) und v2 = (1,3) ein Span in R² bilden

Problem/Ansatz:

habe hier 2 Vektoren, muss zeigen, dass diese ein Span im R2 bilden. 
Hätte es so gemacht : 0 = x*v1 + y*v2

Bin mir aber nicht sicher, ob das so reicht, und was müsste für die unbekannten herauskommen, damit diese ein Span bilden?

Comments

Was soll hier mit "Span" oder eventuell "span" gemeint sein?

Späne entstehen zum Beispiel, wenn man etwas zersägt oder hobelt (Sägespäne, Hobelspäne).

In der linearen Algebra ist etwa span(u,v) der von den Vektoren u und v aufgespannte lineare Unterraum ("lineare Hülle").

Im Bereich der Mathematik ist es besonders wichtig, genaue Definitionen zu verwenden und nicht irgendeinen Begriffsbrei zu machen.

Korrekt formuliert sollte die Aufgabe möglicherweise etwa so lauten:

Zeige, dass  span(v1,v2) = R^2

---

Sag das nicht mir... ich habe die Aufgaben nicht erstellt...

---

Sag das nicht mir... ich habe die Aufgaben nicht erstellt...

Aber dann weißt du vielleicht, an wen du die Kritik weiterleiten könntest. Einen Lehrer, der die Frage so gestellt hat, wie du sie wiedergegeben hast, kann ich nicht so ganz ernst nehmen ...

Answer 1

Dein Ansatz dient eher dem Nachweis der linearen Unabhängigkeit.

Dazu muss die einzige Lösung x=y=0 sein.

Und zwei lin. unabhängige Elemente von R^2 bilden immer einen Span

von R^2.

Wenn du es "direkt" zeigen willst, wäre der Ansatz eher so:

Jedes Element (a,b) von R^2 muss sich durch die beiden

darstellen lassen, also

(a,b)  = x*v1 + y*v2

muss für jedes Paar a,b eine Lösung für x und y haben.

Comments

Aber im Span sind nicht nur linear unabhängige Vektoren oder doch? Und wie berechne ich das jetzt genau mit (a,b) als unbekannten ?

---

Aber im Span sind nicht nur linear unabhängige Vektoren ?

So ist es.

Offenbar hattet ihr den Basissatz noch nicht.

Bei endlich dimensionalen Vektorräumen ist äquivalent:

Die Vektoren bilden eine Basis.

Die Vektoren spannen den ganzen Raum auf
und ihre Anzahl ist der gleich der Dimension.

Die Vektoren sind linear unabhängig 
und ihre Anzahl ist der gleich der Dimension.

Die Vektoren spannen den ganzen Raum auf
und sind linear unabhängig.

Wenn ihr das noch nicht bewiesen habt, musst

du wohl den 2. Weg gehen:   Sei (a,b) ∈ ℝ² .

Zeige: Es gibt x,y ∈ ℝ mit (a,b)  = x*v1 + y*v2

Bew.:    (a,b)  = x*v1 + y*v2

<=>   (a,b)  = x* (2,5) +y* (1,3)

<=> a=2x+y    und   b = 5x+3y

<=> a-2x=y    und   b = 5x+3y

<=> a-2x=y    und   b = 5x+3*(a-2x)

<=> a-2x=y    und   b = 5x+3a-6x = 3a-x

<=> a-2x=y    und   x = 3a-b

<=> a-2(3a-b)=y    und   x = 3a-b

<=> a-6a+2b=y    und   x = 3a-b

<=> -5a+2b=y    und   x = 3a-b

Es gibt also zu jedem Paar (a,b)

Werte für x und y nämlich

-5a+2b=y    und   x = 3a-b

damit (a,b)  = x*v1 + y*v2 gilt.

v1 und v2 bilden also zusammen ein

Erzeugenensystem für ℝ² kurz

Span(v1,v2) =  ℝ²

---

Okay danke ist klar, aber eine Frage hätte ich noch. Können zwei linear abhängige Vektoren auch einen Span bilden?

---

Ja, die spannen dann aber nur einen 1-dim Vektorraum auf.

z.B.  (1;0) und (2;0) spannen den Raum

U = { (x;0) | x ∈ ℝ } auf. Du kannst dann auch schreiben

span (  (1;0) , (2;0) ) = U

---

Nehmen wir an die Vektoren die ich gegeben habe wären linear abhängig und ich im  R2, dann würde dieses nicht zutreffen, stimmts?

---

So ist es.

Kannst ja mal probieren etwa mit (1,0) und (2,0) alle

von R^2 darzustellen.

Da hakt es z.B. bei (0;1)