Eine Orthogonalitätsrelation

Question

Hallo 
komme bei folgender Aufgabe nicht weiter

Aufgabe:

Beweisen Sie unter Verwendung geeigneter trigonometrischer Additionstheoreme die Formel :

\( \int\limits_{-π}^{π} \)  sin(n*x) * sin(m*x) dx = π * δ_nm    für n,m ∈ ℕ

Problem/Ansatz:

Zunächst einmal habe ich folgendes genutzt : 

cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a) * sin(b)

cos(a-b) = cos(a) * cos(b) + sin(a)*sin(b)

cos(a+b)-cos(a-b) = -2 * sin(a)*sin(b)

- 1/2  * cos(n*x + m*x) - cos(n*x -m*x) = sin (n*x) * sin(m*x)
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\( \int\limits_{-π}^{π} \)  sin(n*x) * sin(m*x) dx = - 1/2  * \( \int\limits_{-π}^{π} \)  cos(n*x + m*x) - cos(n*x -m*x)dx

= -1/2  (  \( \int\limits_{0}^{π} \)  cos(n*x + m*x) - cos(n*x -m*x)dx + \( \int\limits_{-π}^{0} \)  cos(n*x + m*x) - cos(n*x -m*x)dx )

= -1/2 ([(2m*cos(m*x)*sin(n*x)-2n*sin(m*x)*cos(n*x) )/ (m²-n²)]^π ₀  + [(2m*cos(m*x)*sin(n*x)-2n*sin(m*x)*cos(n*x) )/ (m²-n²)]⁰ _-π)

Nun habe ich folgendes Problem :

Ich ging davon aus dass π  = π * 1 das Ergebnis wenn m=n und  0  = π * 0 das Ergebnis ist wenn m ≠n gilt, da dies die Definition des Kronecker - Delta ist.

Bei mir habe ich allerdings egal was ich einsetzte im zähler immer 0 raus da n und m aus den natürlichen Zahlen sind habe ich immer mit dem sinus ne Nullstelle sobald ich pi einsetze und genau so wenn ich 0 einsetze.

Weiß jemand was falsch gelaufen ist oder wie ich es angehen sollet ?

Liebe Grüße

Hans

Answer 1

Für den Fall m=n würde ich gar nichts umformen:

Dann hast du

\( \int\limits_{-π}^{π} \)  sin(n*x) * sin(n*x) dx

=\( \int\limits_{-π}^{π} \)  sin(n*x)^2   dx

= [ x/2   - sin(nx)cos(nx)/(2n) ] in den Grenzen von -pi bis pi

= pi/2  - sin(n*pi)cos(n*pi)/(2n) - (-pi/2) +  sin(n*(-pi))cos(n*(-pi))/(2n)

und weil sin(n*pi) und sin(n*(-pi)) jeweils 0 sind, bleibt

= pi/2   - (-pi/2)   = 1*pi

Das ist also schon mal OK.

Für den Fall n≠m würde ich auch etwas einfacher machen:

Gehe aus von  - 1/2  * \( \int\limits_{-π}^{π} \)  cos(n*x + m*x) - cos(n*x -m*x)dx

=  - 1/2  * \( \int\limits_{-π}^{π} \)  cos((n+m)*x) - cos(n-m)*x)dx

= (-1/2)*  \( \int\limits_{-π}^{π} \)  cos((n+m)*x) dx - \( \int\limits_{-π}^{π} \) cos(n-m)*x)dx)

=  (-1/2)* ( 2 sin(m+n)*pi    -  2sin(m-n)pi )

und in der Klammer sind beide Terme gleich 0, also

das ganze auch 0.