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Aufgabe:

Berechnen Sie die Schnittpunkte der Quadrik x2 + y2 - z = 0 mit der Geraden

g(λ) = [-1 1 0]T + λ[1 0 2]T


Problem/Ansatz:

Wie kann man das bewerkstelligen? Was sind die Schritte hier?

Bei normalen Geraden würde man ja die Gleichungen gleichsetzen und dann nach x auflösen und den Wert dann bei einer der Funktionen einsetzen um den Schnittpunkt zu erhalten.

Wie macht man es hier genau?

von

1 Antwort

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Setze $$g(\lambda)=\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\\1\\0 \end{pmatrix} + \lambda\cdot\begin{pmatrix} 1\\0\\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1+\lambda)\\1\\(2\cdot\lambda) \end{pmatrix}$$in die Gleichung der Quadrik ein und versuche, über die so entstehende quadratische Gleichung \(\lambda\) zu bestimmen.

von 17 k

λ2 + 1 - 2λ = 0

...

λ = 1


Dann würde ich es einsetzen:

x = -1 + λ = -1 + 1 = 0

y = 1

z = 2 λ = 2*1 = 2


Wäre mein Schnittpunkt dann:

S = [0 1 2];

Ist das richtig?

Das ist nicht richtig. Einsetzen ergibt $$(-1+\lambda)^2+1^2-(2\cdot\lambda)=0.$$

Ja ich habe mich am Ende vertippt.

aus (-1 + λ)2 wird ja = (-1)2 * λx2 = 1 * λ2 = λ2

Somit ist es eingesetzt:

λ2 + 1 - 2λ = 0

...

λ = 1


und Lambdas Wert eingesetzt in die Gerade ergibt dann den

Schnittpunkt = [0 1 2];

Nun, ich weiß nicht, was du da gemacht hast, aber die Einsetzprobe zeigt, dass (0|1|2) sicher nicht auf der Quadrik liegt. Weiter geht es so: $$(-1+\lambda)^2+1^2-(2\cdot\lambda)=0 \\ \Leftrightarrow\\ \lambda^2-4\lambda+2=0\\ \dots$$

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