Hallo,
es ist ja schon 'ne ältere Frage. Aber ich wollte noch ein Vorgehen vorschlagen, welches sich wegen der Matrizenoperationen sehr einfach mit einem Tabellenkalkulationsprogramm umsetzen lässt.
Dazu die Gleichung der Quadrik in die Form mit der erweiterten Darstellungsmatrix bringen:$$\begin{pmatrix}\vec x^T & 1\end{pmatrix} \overline{A} \begin{pmatrix}\vec x\\ 1\end{pmatrix} = 0$$hier ist$$x^{2} + y^{2} - z = 0 \\\implies\vec x^T \begin{pmatrix}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{pmatrix} \vec x + 2 \begin{pmatrix}0\\ 0\\ -0,5\end{pmatrix}^T \vec x+ 0 = 0, \quad\vec x=\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}\\\implies\overline{A} = \begin{pmatrix}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& -0,5\\ 0& 0& -0,5& 0\end{pmatrix}$$und dann die Gleichung der Geraden mit homogenen Koordinaten schreiben$$g(\lambda): \quad \vec x = \begin{pmatrix}-1\\ 1\\ 0\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 2\end{pmatrix} \\ \implies \begin{pmatrix}\vec x\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1& 1\\ 1& 0\\ 0& 2 \\ 1& 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\ \lambda\end{pmatrix}$$Wenn man das in die Gleichung der Quadrik einsetzt, dann steht da$$\phantom{=}\begin{pmatrix}1& \lambda\end{pmatrix} \underbrace{\begin{pmatrix}-1& 1& 0& 1\\ 1& 0& 2& 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& -0,5\\ 0& 0& -0,5& 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1& 1\\ 1& 0\\ 0& 2\\ 1& 0\end{pmatrix}}_{\to \text{Tabellenkalkulation, MMULT}} \begin{pmatrix}1\\ \lambda\end{pmatrix}\\ =\begin{pmatrix}1& \lambda\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2& -2\\ -2& 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\ \lambda\end{pmatrix} \\=2 - 4\lambda + \lambda^2= 0 \\ \implies \lambda_{1,2} = 2\pm \sqrt{2}$$und die Schnittpunkte \(S_{1,2}\) der Geraden mit dem Paraboloiden liegen bei$$S_{1,2} = g(\lambda_{1,2})= \begin{pmatrix}1\\ 1\\ 4\end{pmatrix} \pm\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 2\end{pmatrix} \sqrt{2} \approx \left\{\begin{pmatrix}2,414\\ 1\\ 6,828\end{pmatrix},\space \begin{pmatrix}-0,414\\ 1\\ 1,172\end{pmatrix}\right\}$$Gruß Werner
