Es existiert ein q ∈Q mit a < q < b

Question

Hallöchen,

hätte jemand einen Tipp, oder einen Lösungsvorschlag? Mir ist klar, das jeweils die Aussagen richtig sind, ich kann den Beweis nur nicht wirklich Anfangen.

lg Jay

Seien a,b ∈ R mit a < b.

Zeigen Sie, die folgenden Aussagen

(1) Es existiert ein q ∈Q mit a < q < b. Hinweis: Betrachten Sie q = m n mit n so groß, dass 1 n < b−a.

(2) Es existiert ein r ∈R\Q mit a < r < b.

Answer 1

(1) a,b ∈ R mit a < b, dann existiert ein q ∈Q mit a < q < b.

Beweis:

Es ist \(a<b ⇒ a-b<0\). Nun existiert nach dem archimedischen Axiom ein \(n∈ℕ\) derart, dass \(\frac{1}{n} < a-b.\) Definiere nun:$$\varphi:=\left\{k\in \mathbb{N} :\frac{k}{n}\leq a \right\}+1$$ Dann ist:$$a<\frac{\varphi}{n}=\frac{\varphi-1}{n}+\frac{1}{n}<b$$