Biquadratische Gleichung x^4-10x^2+9=0

Question

Aufgabe:

In einem Buch wird mir folgendes angezeigt:

x⁴-10x²+9=0

Substitution:

u²-10u+9=0

Problem/Ansatz:

Als Lösung im Buch kommt dann

u_1/2 =5±4 und u₁=9 u₂=1

Die 9 und 1 als Lösung verstehe ich. Aber nicht woher die 5 ±4 kommt.

Danke schonmal für die Antwort.

Answer 1

Die 9&1 als Lösung verstehe ich aber nicht woher die 5 +-4 kommt.

Ich mache nochmal die pq-Formel ganz langsam und Schrittweise vor. Dann solltest du es verstehen.

u^2 - 10·u + 9 = 0

u1/2 = - p/2 ± √((p/2)^2 - q)

u1/2 = 10/2 ± √((-10/2)^2 - 9)

u1/2 = 5 ± √(25 - 9)

u1/2 = 5 ± √16

u1/2 = 5 ± 4

u1 = 5 - 4 = 1

u2 = 5 + 4 = 9

Answer 2

u^2-10u+9 = 0

(u-9)(u-1)= 0

u= 9 v u = 1

--> x=±3 v x=±1

5+-4 kommt von der pq-Formel:

u1/2 = 5±√(5^2-9) = 5+-4

Answer 3

Das ist einfach das \(\pm\)-Zeichen. Also hast du einmal \(5-4=1\) und einmal \(5+4=9\), das solltest du kennen - oder rechnest du nicht mit pq-Formel?

Answer 4

u^2-10u +9=0 → pq-Formel

u_1,2= 5 ±√(25 -9)

u_1,2= 5 ±4

u₁=9

u₂=1

Resubstitution  u=x^2

9 =x^2

x_1.2= ±3

1=x^2

x_3,4=±1

Answer 5

Ohne Substitution:

\(x^4-10x^2+9=0\)

\(x^4-10x^2=-9\) quadratische Ergänzung und 2.Binom:

\((x^2-5)^2=-9+5^2=16|±\sqrt{~~}\)

1.)

\(x^2-5=4\)

\(x^2=9|±\sqrt{~~}\)

\(x_1=3\)

\(x_2=-3\)

2.)

\(x^2-5=-4\)

\(x^2=1|±\sqrt{~~}\)

\(x_3=1\)

\(x_4=-1\)

Answer 6

In einem Buch wird mir folgendes angezeigt: x^4-10x^2+9=0

Substitution: u^2-10u+9=0

Als Lösung im Buch kommt dann: u1/2 =5±4 und u1=9 u2=1

Die 9 und 1 als Lösung verstehe ich. Aber nicht woher die 5 ±4 kommt.

\(u_{1/2} = 5\pm 4\) ist eine häufig benutzte Abkürzung für das hier gemeinte $$u_1=5+4=9,\quad u_2=5-4=1,$$also die zweite Lösungsdrstellung aus dem Buch.

Comments

Ich denke, er meint etwas anderes.

Schau mal unter p/q Formel bei Quadratischen Gleichungen

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Ja, aber genau das habe ich gemeint.

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Na wie gut, dass wir das nach über 5 Jahren dann geklärt haben.