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Servus Leute,
kann mir jemand weiterhelfen

Gegeben die Funktion f(x,y) = e^(4-x^2-y^2)
Nebenbedingung: x^2 + 2y = 6

Ich habe die Nebenbedingung mit 0 gleichgesetzt und beides mit Lagrange wie folgt zusammengefasst:

z= e^(4-x^2-y^2) + λ * (x^2+2y-6)


I: ðz/ðx = -2x*e^(4-x-y^2) + 2xλ 

II: ðz/ðy = -2y*e^(4-x^2-y) + 2λ

III: ðz/ðλ = x^2 +2y -6 => y= -0,5x^2+3


III in II: -2*(-0,5x^2+3)*e^(4-x^2-(-0,5x^2+3)) +2λ=0

<=> x^2- 6* e^(4-x^2-0,25x^4-9) +2λ=0


Danach wird es mir zu komplex und ich komme nicht richtig weiter, da ich beim einsetzten die Variablen nicht wegbekommen habe...

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du kannst Zeit sparen, indem du geschickt verkürzt mit Determinanten:

Sei \(f(x)=e^{4-x^2-y^2}\) und \(g(x)=x^2+2y-6\). Berechne nun:$$\begin{vmatrix} f_x & g_x \\ f_y & g_y \end{vmatrix}\stackrel{!}{=}0$$ Du hast also:$$\begin{vmatrix} -2x\mathrm{e}^{-x^2-y^2+4}& 2x \\ -2y\mathrm{e}^{-y^2-x^2+4} &2 \end{vmatrix}\overset{(*)}=(-2y\mathrm{e}^{-y^2-x^2+4})\cdot 2x-(-2x\mathrm{e}^{-x^2-y^2+4})\cdot 2=0$$ Bei \((*)\) wurde die Regel von Sarrus verwendet:$$-{4x\mathrm{e}^{-y^2-x^2+4}}y+{4x\mathrm{e}^{-x^2-y^2+4}}=0$$ Du kannst jetzt \(4x\mathrm{e}^{-x^2-y^2+4}\) ausklammern:$$4x\mathrm{e}^{-x^2-y^2+4}(-y+1)=0$$ Dann hast du \(y=1\) nach dem Satz vom Nullprodukt und \(0=x^2+2y-6 \Longleftrightarrow x_{1,2}=\pm \sqrt[]{-2y+6}=\pm 2\)

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Avatar von 28 k

Zunächst einmal danke racine_carée für deine Antwort. Das Ding ist wir müssen das Ganze mit Lagrange lösen :-/

Das ist "Lagrange in disguise" :-)

$$\begin{aligned}L &= f + \lambda g \\ L_x &= f_x + \lambda g_x = 0 && \left| \cdot g_y\right. \\ L_y &= f_y + \lambda g_y = 0 && \left| \cdot g_x\right. \end{aligned}$$$$\Longrightarrow f_x g_y - f_y g_x = 0  \Longleftrightarrow \begin{vmatrix} f_x & g_{ x} \\ f_y & g_{ y} \end{vmatrix}=0$$

Alles klar. Danke dir :-)

Verstehst du die Herleitung...?

Die Methode nach Sarrus ist ersichtlich, aber nicht die Herleitung.

Das ist im Prinzip das, was du wahrscheinlich immer machst, nur halt im  Allgemeinen... Siehst du das?

Ich verstehe es schon von der Rechnung her, aber nicht wieso du oben Lx mit  gy multiplizierst und die nächste Zeile ebenso mit gx

Um die Gleichungen voneinander abziehen zu können (kannst du vorher auch, bringen tut das aber nicht viel).

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hab es auch mal berechnet, vielleicht  ist dieser Weg für Dich ?

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Avatar von 121 k 🚀

Das ist wohl der konventionellere Weg - der Rechenaufwand ist halt höher.

Umständlich hat aber geholfen. Danke dir =)

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