Zeigen Sie, dass für alle A,C ∈ M gilt: Spur(A ∗ C) = Spur(C ∗ A).

Question

Sei n ∈ ℕ und sei M := M_n×n(K). Die Spur einer Matrix A = (a_ij ) ∈ M ist definiert als Summe aller Einträge auf der Hauptdiagonalen von A, also Spur(A) := $\sum\limits_{i=1}^{n}{}$ a_ij

Zeigen Sie, dass für alle A,C ∈ M gilt: Spur(A ∗ C) = Spur(C ∗ A).

Answer 1

Ich versuch es mal:

$$spur(D)=spur(AC)=\sum \limits_{i=1}^{n}d_{ii}=\sum \limits_{i=1}^{n} \sum \limits_{k=1}^{n} a_{ik}c_{ki}=\sum \limits_{i=1}^{n} \sum \limits_{k=1}^{n} c_{ki}a_{ik}=\sum \limits_{k=1}^{n} \sum \limits_{i=1}^{n} c_{ki}a_{ik}=spur(CA)$$