Zeigen Sie, dass Spur AB = Spur BA für alle A, B ∈ Kn×n

Question

Es sei K ein Körper. Die Spur einer Matrix in K^n×n
ist die Summe ihrer Hauptdiagonalenelemente.

Zeigen Sie, dass Spur AB = Spur BA für alle A, B ∈ K^n×n, und dass zwei ähnliche
Matrizen in K^n×n dieselbe Spur haben. Wie würden Sie die Spur einer linearen Abbildung
T : V → V für einen n-dimensionalen Vektorraum V über K definieren?

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Zeigen Sie, dass für A, B ∈ Kn×n gilt: Spur(AB) = Spur(BA).

Stichworte: lineare-algebra,spur

Aufgabe:

Sei K ein Körper. Die Spur einer Matrix A = (aij) ∈ Kn×n ist
definiert als die Summe der Diagonalelemente, also
Spur(A) = \( \sum\limits_{i=1}^{n}{} \) aii.

(a) Zeigen Sie, dass für A, B ∈ Kn×n gilt: Spur(AB) = Spur(BA).
(b) Zeigen Sie: Sind A, B ∈ Kn×n ähnliche Matrizen, dann gilt
Spur(A) = Spur(B).

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Schon was versucht? Wo hakt's?

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https://www.mathelounge.de/555711/zeigen-sie-dass-spur-ab-spur-ba-fur-alle-a-b-kn-n

https://mathepedia.de/Spur.html

http://vhm.mathematik.uni-stuttgart.de/Vorlesungen/Lineare_Algebra/Folien_Spur.pdf

https://math.stackexchange.com/questions/1099745/how-to-prove-operatornametrab-operatornametrba

u.v.m. Wo liegen denn deine Schwierigkeiten?

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Bin gerade kurz über die Links drüber, die sollten alles klären. Einzige Sache, mit der ich sehr stark nicht einverstanden bin ist die Interpretation des Satzes in der mathepedia-Quelle.

Man darf die Matrizenfaktoren innerhalb der Spur nur beliebig rotieren, nicht beliebig vertauschen! Es gilt \(\mathrm{tr}(ABC)=\mathrm{tr}(BCA)=\mathrm{tr}(CAB)\), aber nicht unbedingt \(=\mathrm{tr}(ACB)\).

Answer 1

$$a_{i,j} $$und $$b_{i,j} $$die Elemente von A bzw. B.

Dann ist das k-te Element in der Hauptdiagonalen von A*B

$$\sum_{s=1}^{n}{a_{k,s}*b_{s,k} }$$

Also ist die Spur von A*B

$$\sum_{k=1}^{n}{\sum_{s=1}^{n}{a_{k,s}*b_{s,k} }}$$

Und das k-te Element in der Hauptdiagonalen von B*A

$$\sum_{s=1}^{n}{b_{k,s}*a_{s,k} }$$

Entsprechend ergibt sich für die Spur von B*A

$$\sum_{k=1}^{n}{\sum_{s=1}^{n}{b_{k,s}*a_{s,k} }}$$

Und nach dem Tausch der Summationsindizes

und den Regeln der Addition im Körper K sind die

beide gleich.