Zeigen Sie, dass A hermitesch äquivalent zu B unitär

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie für A ∈ M(n,ℂ):

A hermitesch ↔ e^itA unitär für alle t ∈ ℝ

Problem/Ansatz:

Ich komme hier leider absolut nicht weiter; hab das aber auch nicht wirklich durchdrungen. Kann es mir bitte jemand einmal zeigen, wie man das macht (bzw  erklären)?

Answer 1

Ich kann mit einer Richtung helfen:

Sei A hermitesch, also A=A^*, dann ist

$$exp(sA)^*=(\sum_{k=0}^\infty \frac{(sA)^k}{k!})^*= \sum_{k=0}^\infty \frac{((sA)^k)^*}{k!} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(\overline{s} A^*)^k}{k!}=exp(\overline{s}A^*)=exp(\overline{s}A)$$

Speziell für s=it gilt:

$$exp(itA)^*=exp(-itA)$$

Zeige nun mit der Cauchy Produkt Formel, dass
$$exp(itA)exp(-itA)=exp(-itA)exp(itA)=exp(0)=Id.$$