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Aufgabe:

Sei A ∈ M(3×3; ℂ) eine hermitesche Matrix. Zu zeigen: \( A^t \) und \(  \overline{A} \) hermitesch.

Und zu zeigen: Wenn A invertierbar, dann sind A und A-1 hermitesch.


Problem/Ansatz:

Da A hermitesch, gilt \( A^t=  \overline{A} \). Aber wie gehe ich jetzt hier vor?

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Das hast du ja:  \( A^t=  \overline{A} \)

Um zu zeigen, dass B=A^t hermitesch ist, musst du zeigen,

dass auch   \( B^t=  \overline{B} \) gilt. Etwa so :

\( B^t= (A^t)^t =( \overline{A} ) ^t = \overline{A^t} = \overline{B} \)

Mit \( B=  \overline{A} \) und B=A-1entsprechend .

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Vielen Dank.

für das zweite hätte ich dann:

Bkonjugiert = (Akonjugiert)konjugiert = (At)konjugiert = A.

Denn es gilt ja At = Akonjugiert, da A hermitesch. Des Weiteren gilt: (Akonjugiert)t = A ∀ A ∈ ℂ. Also Bkonjugiert hermitesch, da A hermitesch, laut Annahme. q.e.d

Richtig ist einerseits   Bkonjugiert = (Akonjugiert)konjugiert =  A.

Und andererseits weil A hermitisch Akonjugiert=At also

(Akonjugiert)konjugiert =(At)konjugiert =(Akonjugiert)t =Bt .

Also Bkonjugiert = Bt .  q.e.d.

Dankeschön. Den Teil kann man sich aber eigentlich sparen, oder? Weil wenn die Annahme ist, dass A sowieso hermitesch ist, und man dann von Bkonjugiert = A schließt, ist B doch automatisch hermitesch.


Beim dritten komme ich nicht weiter. B hermitesch, also gilt Bt = Bkonjugiert.

Wenn A invertierbar, soll A-1 hermitesch sein. Also setzen wir B = A-1

Aber egal wie ich jetzt anfange, ob mit Bt =(und dann für B A-1 einsetze) oder mit Bkonjugiert = (und dann für B A-1 einsetze), weiß ich nicht, wie ich da dann weitermache.


Was gilt: Bkonjugiert = (A-1)konjugiert = (Akonjugiert)-1

Ich würde beginnen mit \(  B:=A^{-1}   \)

und der Behauptung \(  B^t =B^{konjugiert}  \)

Und dann einfach anfangen

\(  B^t =(   A^{-1}  )   ^t   =   ( A^{t}  )  ^{-1}     \)

Da A hermitisch ist, ist das

\( =(  A^{konjugiert}  )  ^{-1}     =  (  A^{-1}  )  ^{konjugiert} \)

\( =  B ^{konjugiert} \).  q.e.d.

Super, dankeschön!!!

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