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Vorgabe:

Gegeben sei die lineare Abbildung f : R4 → R3 mit

MAB(f) = \( \begin{pmatrix} 4 & 0 & -4 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & 2 \\ -2 & 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} \)

bzgl. der Basen

A = (\( \begin{pmatrix} 1  \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 0  \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 1  \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 0  \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \))

B = (\( \begin{pmatrix} 1  \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 1  \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 1  \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \))


Aufgabe:

Gegeben seien die Vektoren v = \( \begin{pmatrix} 2  \\ 2 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} \) und w = \( \begin{pmatrix} -1  \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \).

Bestimmen Sie mithilfe der Matrix MAB(f) die Vektoren f(v) und f(w) in der Koordinatendarstellung bzgl. der Standardbasis des R3.


Wie kann man diese bestimmen? Leider fehlt mir dafür bereits der Ansatz.

Danke im Voraus.

von

1 Antwort

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Die gegebene Matrix \(M^A_B\) transformiert vom 4-dimensionalen Raum mit der Basis \(A\) in den 3-dimensionalen Raum mit der Basis \(B\). Du benötigst also noch eine Matrix \(M^B_S\), die vom 3-dimensionalen Raum mit der Basis \(B\) in den 3-dimensionalen Raum mit der Standardbasis \(S\) transformiert.

In 3 Dimensionen wechselst du von der Standardbasis \(S\) zur Basis \(B\) mit folgender Transformationsmatrix (einfach die neuen Basisvektoren als Spaltenvektoren eintragen):

$$M^S_B=\left(\begin{array}{c}1 & 1 & 1\\1 & 0 & 2\\1 & 1 & 2\end{array}\right)$$Um von der Basis \(B\) zur Standardbasis zurück zu wechseln, brauchst du die Inverse dieser Matrix:

$$M^B_S=\left(M^S_B\right)^{-1}=\left(\begin{array}{c}2 & 1 & -2\\0 & -1 & 1\\-1 & 0 & 1\end{array}\right)$$Jetzt hast du alles, was du brauchst:

$$v^\prime=M^B_S\cdot M^A_B\cdot v\quad;\quad w^\prime=M^B_S\cdot M^A_B\cdot w$$

von 18 k

Vielen Dank!

Wenn ich nun die Abbildungsmatrix ME4E3(f) bestimmen möchte, mache ich das auch mit so einer Formel? Und allgemein, wie bestimmt man Abbildungsmatrizen?

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